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社区首页 >专栏 >【最短路/必背模板】涵盖所有的「存图方式」与「最短路算法(详尽注释)」

【最短路/必背模板】涵盖所有的「存图方式」与「最短路算法(详尽注释)」

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ACM算法日常
发布2021-08-10 16:10:32
4540
发布2021-08-10 16:10:32
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文章被收录于专栏:ACM算法日常ACM算法日常

题目描述

这是 LeetCode 上的「743. 网络延迟时间」,难度为「中等」

Tag : 「最短路」、「图」、「优先队列(堆)」

n

个网络节点,标记为

1

n

给你一个列表

times

,表示信号经过「有向边」的传递时间。

times[i] = (ui, vi, wi)

,其中

ui

是源节点,

vi

是目标节点,

wi

是一个信号从源节点传递到目标节点的时间。

现在,从某个节点

k

发出一个信号。

需要多久才能使所有节点都收到信号?

如果不能使所有节点收到信号,返回

-1

示例 1:

代码语言:javascript
复制
输入:times = [[2,1,1],[2,3,1],[3,4,1]], n = 4, k = 2

输出:2

示例 2:

代码语言:javascript
复制
输入:times = [[1,2,1]], n = 2, k = 1

输出:1

示例 3:

代码语言:javascript
复制
输入:times = [[1,2,1]], n = 2, k = 2

输出:-1

提示:

1 <= k <= n <= 100
1 <= times.length <= 6000
times[i].length == 3
1 <= ui, vi <= n
ui

!=

vi
0 <= wi <= 100
  • 所有
(ui, vi)

对都 互不相同(即不含重复边)

基本分析

为了方便,我们约定

n

为点数,

m

为边数。

根据题意,首先

n

的数据范围只有

100

m

的数据范围为

6000

,使用「邻接表」或「邻接矩阵」来存图都可以。

同时求的是「从

k

点出发,所有点都被访问到的最短时间」,将问题转换一下其实就是求「从

k

点出发,到其他点

x

的最短距离的最大值」

存图方式

在开始讲解最短路之前,我们先来学习三种「存图」方式。

邻接矩阵

这是一种使用二维矩阵来进行存图的方式。

适用于边数较多的「稠密图」使用,当边数量接近点的数量的平方,即

m \approx n^2

时,可定义为「稠密图」

代码语言:javascript
复制
// 邻接矩阵数组:w[a][b] = c 代表从 a 到 b 有权重为 c 的边
int[][] w = new int[N][N];

// 加边操作
void add(int a, int b, int c) {
    w[a][b] = c;
}
邻接表

这也是一种在图论中十分常见的存图方式,与数组存储单链表的实现一致(头插法)。

这种存图方式又叫「链式前向星存图」

适用于边数较少的「稀疏图」使用,当边数量接近点的数量,即

m \approx n

时,可定义为「稀疏图」

代码语言:javascript
复制
int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
int idx;

void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b;
    ne[idx] = he[a];
    he[a] = idx;
    w[idx] = c;
    idx++;
}

首先 idx 是用来对边进行编号的,然后对存图用到的几个数组作简单解释:

  • he 数组:存储是某个节点所对应的边的集合(链表)的头结点;
  • e 数组:由于访问某一条边指向的节点;
  • ne 数组:由于是以链表的形式进行存边,该数组就是用于找到下一条边;
  • w 数组:用于记录某条边的权重为多少。

因此当我们想要遍历所有由 a 点发出的边时,可以使用如下方式:

代码语言:javascript
复制
for (int i = he[a]; i != -1; i = ne[i]) {
    int b = e[i], c = w[i]; // 存在由 a 指向 b 的边,权重为 c
}

这是一种最简单,但是相比上述两种存图方式,使用得较少的存图方式。

只有当我们需要确保某个操作复杂度严格为

O(m)

时,才会考虑使用。

具体的,我们建立一个类来记录有向边信息:

代码语言:javascript
复制
class Edge {
    // 代表从 a 到 b 有一条权重为 c 的边
    int a, b, c;
    Edge(int _a, int _b, int _c) {
        a = _a; b = _b; c = _c;
    }
}

通常我们会使用 List 存起所有的边对象,并在需要遍历所有边的时候,进行遍历:

代码语言:javascript
复制
List<Edge> es = new ArrayList<>();

...

for (Edge e : es) {
    ...
}

Floyd(邻接矩阵)

根据「基本分析」,我们可以使用复杂度为

O(n^3)

的「多源汇最短路」算法 Floyd 算法进行求解,同时使用「邻接矩阵」来进行存图。

此时计算量约为

10^6

,可以过。

跑一遍 Floyd,可以得到「从任意起点出发,到达任意起点的最短距离」

然后从所有

w[k][x]

中取

max

即是「从

k

点出发,到其他点

x

的最短距离的最大值」

代码:

代码语言:javascript
复制
class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接矩阵数组:w[a][b] = c 代表从 a 到 b 有权重为 c 的边
    int[][] w = new int[N][N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k;
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        // 初始化邻接矩阵
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                w[i][j] = w[j][i] = i == j ? 0 : INF;
            }
        }
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            w[u][v] = c;
        }
        // 最短路
        floyd();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, w[k][i]);
        }
        return ans >= INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void floyd() {
        // floyd 基本流程为三层循环:
        // 枚举中转点 - 枚举起点 - 枚举终点 - 松弛操作        
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    w[i][j] = Math.min(w[i][j], w[i][p] + w[p][j]);
                }
            }
        }
    }
}
  • 时间复杂度:
O(n^3)
  • 空间复杂度:
O(n^2)

朴素 Dijkstra(邻接矩阵)

同理,我们可以使用复杂度为

O(n^2)

的「单源最短路」算法朴素 Dijkstra 算法进行求解,同时使用「邻接矩阵」来进行存图。

根据题意,

k

点作为源点,跑一遍 Dijkstra 我们可以得到从源点

k

到其他点

x

的最短距离。

再从所有最短路中取

max

即是「从

k

点出发,到其他点

x

的最短距离的最大值」

朴素 Dijkstra 复杂度为

O(n^2)

,可以过。

代码:

代码语言:javascript
复制
class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接矩阵数组:w[a][b] = c 代表从 a 到 b 有权重为 c 的边
    int[][] w = new int[N][N];
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    // 记录哪些点已经被更新过
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k;
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        // 初始化邻接矩阵
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                w[i][j] = w[j][i] = i == j ? 0 : INF;
            }
        }
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            w[u][v] = c;
        }
        // 最短路
        dijkstra();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void dijkstra() {
        // 起始先将所有的点标记为「未更新」和「距离为正无穷」
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 迭代 n 次
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            // 每次找到「最短距离最小」且「未被更新」的点 t
            int t = -1;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (!vis[i] && (t == -1 || dist[i] < dist[t])) t = i;
            }
            // 标记点 t 为已更新
            vis[t] = true;
            // 用点 t 的「最小距离」更新其他点
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                dist[i] = Math.min(dist[i], dist[t] + w[t][i]);
            }
        }
    }
}
  • 时间复杂度:
O(n^2)
  • 空间复杂度:
O(n^2)

堆优化 Dijkstra(邻接表)

由于边数据范围不算大,我们还可以使用复杂度为

O(m\log{n})

的堆优化 Dijkstra 算法进行求解。

堆优化 Dijkstra 算法与朴素 Dijkstra 都是「单源最短路」算法。

跑一遍堆优化 Dijkstra 算法求最短路,再从所有最短路中取

max

即是「从

k

点出发,到其他点

x

的最短距离的最大值」

此时算法复杂度为

O(m\log{n})

,可以过。

代码:

代码语言:javascript
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class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接表
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    // 记录哪些点已经被更新过
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int n, k, idx;
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        // 初始化链表头
        Arrays.fill(he, -1);
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        // 最短路
        dijkstra();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void dijkstra() {
        // 起始先将所有的点标记为「未更新」和「距离为正无穷」
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 使用「优先队列」存储所有可用于更新的点
        // 以 (点编号, 到起点的距离) 进行存储,优先弹出「最短距离」较小的点
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[1]-b[1]);
        q.add(new int[]{k, 0});
        while (!q.isEmpty()) {
            // 每次从「优先队列」中弹出
            int[] poll = q.poll();
            int id = poll[0], step = poll[1];
            // 如果弹出的点被标记「已更新」,则跳过
            if (vis[id]) continue;
            // 标记该点「已更新」,并使用该点更新其他点的「最短距离」
            vis[id] = true;
            for (int i = he[id]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[id] + w[i]) {
                    dist[j] = dist[id] + w[i];
                    q.add(new int[]{j, dist[j]});
                }
            }
        }
    }
}
  • 时间复杂度:
O(m\log{n} + n)
  • 空间复杂度:
O(m)

Bellman Ford(类 & 邻接表)

虽然题目规定了不存在「负权边」,但我们仍然可以使用可以在「负权图中求最短路」的 Bellman Ford 进行求解,该算法也是「单源最短路」算法,复杂度为

O(n * m)

通常为了确保

O(n * m)

,可以单独建一个类代表边,将所有边存入集合中,在

n

次松弛操作中直接对边集合进行遍历(代码见

P1

)。

由于本题边的数量级大于点的数量级,因此也能够继续使用「邻接表」的方式进行边的遍历,遍历所有边的复杂度的下界为

O(n)

,上界可以确保不超过

O(m)

(代码见

P2

)。

代码:

代码语言:javascript
复制
class Solution {
    class Edge {
        int a, b, c;
        Edge(int _a, int _b, int _c) {
            a = _a; b = _b; c = _c;
        }
    }
    int N = 110, M = 6010;
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, m, k;
    // 使用类进行存边
    List<Edge> es = new ArrayList<>();
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        m = ts.length;
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            es.add(new Edge(u, v, c));
        }
        // 最短路
        bf();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void bf() {
        // 起始先将所有的点标记为「距离为正无穷」
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 迭代 n 次
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            int[] prev = dist.clone();
            // 每次都使用上一次迭代的结果,执行松弛操作
            for (Edge e : es) {
                int a = e.a, b = e.b, c = e.c;
                dist[b] = Math.min(dist[b], prev[a] + c);
            }
        }
    }
}
代码语言:javascript
复制
class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接表
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, m, k, idx;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        m = ts.length;
        // 初始化链表头
        Arrays.fill(he, -1);
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        // 最短路
        bf();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void bf() {
        // 起始先将所有的点标记为「距离为正无穷」
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 迭代 n 次
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            int[] prev = dist.clone();
            // 每次都使用上一次迭代的结果,执行松弛操作
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int i = he[a]; i != -1; i = ne[i]) {
                    int b = e[i];
                    dist[b] = Math.min(dist[b], prev[a] + w[i]);
                }
            }
        }
    }
}
  • 时间复杂度:
O(n*m)
  • 空间复杂度:
O(m)

SPFA(邻接表)

SPFA 是对 Bellman Ford 的优化实现,可以使用队列进行优化,也可以使用栈进行优化。

通常情况下复杂度为

O(k*m)

k

一般为

4

5

,最坏情况下仍为

O(n * m)

,当数据为网格图时,复杂度会从

O(k*m)

退化为

O(n*m)

代码:

代码语言:javascript
复制
class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    // 邻接表
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    // dist[x] = y 代表从「源点/起点」到 x 的最短距离为 y
    int[] dist = new int[N];
    // 记录哪一个点「已在队列」中
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k, idx;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        // 初始化链表头
        Arrays.fill(he, -1);
        // 存图
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        // 最短路
        spfa();
        // 遍历答案
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void spfa() {
        // 起始先将所有的点标记为「未入队」和「距离为正无穷」
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        // 只有起点最短距离为 0
        dist[k] = 0;
        // 使用「双端队列」存储,存储的是点编号
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        // 将「源点/起点」进行入队,并标记「已入队」
        d.addLast(k);
        vis[k] = true;
        while (!d.isEmpty()) {
            // 每次从「双端队列」中取出,并标记「未入队」
            int poll = d.pollFirst();
            vis[poll] = false;
            // 尝试使用该点,更新其他点的最短距离
            // 如果更新的点,本身「未入队」则加入队列中,并标记「已入队」
            for (int i = he[poll]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[poll] + w[i]) {
                    dist[j] = dist[poll] + w[i];
                    if (vis[j]) continue;
                    d.addLast(j);
                    vis[j] = true;
                }
            }
        }
    }
}
  • 时间复杂度:
O(n*m)
  • 空间复杂度:
O(m)
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