最短路怎么可能尽可能地长呢?
Jonathan Chng @ unsplash.com
记录一道题解, 题目来自 Acwing.com 第 11 场周赛.
https://www.acwing.com/activity/content/59/
没参加. 如果让我做的话我做不出来, 难度是困难, 不是一道模板题, 用的知识点 bfs 啥的都简单, 但是考的是分析能力.
我的笔记:
- https://github.com/PiperLiu/ACMOI_Journey/tree/master/notes
最大化最短路[1]
给定一个
个点
条边的无向连通图。
图中所有点的编号为
。
图中不含重边和自环。
指定图中的
个点为特殊点。
现在，你必须选择两个特殊点，并在这两个点之间增加一条边。
所选两点之间允许原本就存在边。
我们希望，在增边操作完成以后，点
到点
的最短距离尽可能大。
输出这个最短距离的最大可能值。
注意，图中所有边（包括新增边）的边长均为
。
输入格式
第一行包含三个整数
。
第二行包含
个整数
，表示
个特殊点的编号，
之间两两不同。
接下来
行，每行包含两个整数
，表示点
和点
之间存在一条边。
输出格式
一个整数，表示最短距离的最大可能值。
数据范围
前六个测试点满足
。
所有测试点满足
，
，
，
，
。
输入样例1：
5 5 3
1 3 5
1 2
2 3
3 4
3 5
2 4
输出样例1：
3
输入样例2：
5 4 2
2 4
1 2
2 3
3 4
4 5
输出样例2：
3
竞赛中等难度题目，重点在分析。
分析第一步，分情况讨论。
题目中要求，必须在特殊点中选择两个点，这两个点之间会新增一条边。优化目标是，新增边后， 1 到 n 的最短路径最大。
从 1 到 n 的最短路径只可能有以下三种情况（如上图）：
- 不经过
a to b这条线 - 经过
a -> b，则距离是x[a] + 1 + y[b] - 经过
b -> a，则距离是x[b] + 1 + y[a] - 说明：
x[a]为1到a的距离，y[b]为n到b的距离
如果我们在 a 与 b 中增加一条边，则最终最短路的距离为以下三者中取最小值：
- 原有最短路长度
x[a] + 1 + y[b]x[b] + 1 + y[a]
我们没办法改变「原有最短路长度」，因此只能希望 min(x[a] + 1 + y[b], x[b] + 1 + y[a]) 这个值越大越好。
因此，我们要考虑所有特殊点的两两组合，然后，找出最大的 min(x[a] + 1 + y[b], x[b] + 1 + y[a]) 的 a b 组合。
找两两组合
我们没法直接找 min(x[a] + 1 + y[b], x[b] + 1 + y[a]) 的最大值，得进行一步推导：
x[a] + 1 + y[b] <= x[b] + 1 + y[a]- 即
x[a] - y[a] <= x[b] - y[b] - 即，当
x[a] - y[a] <= x[b] - y[b]时，min(x[a] + 1 + y[b], x[b] + 1 + y[a])为x[a] + 1 + y[b] - 即，我们找
a, b满足x[a] - y[a] <= x[b] - y[b]（这个约束条件也可使我们遍历所有的a, b组合），使得x[a] + 1 + y[b]最大
找两两组合
如上，我们将特殊的点按照 x[i] - y[i] 升序排序；我们令 b 为第一层循环：即首先确定 b 的位置（图中为 i ） ， a 的话，选择选择从起点到 i 的最大值即可，因为我们的目标是图中红色的线值最大，即 y[b] + 1 + x[a] 。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10, M = 4e5 + 10;
int n, m, k;
int a[N], dist1[N], dist2[N]; // 特殊点，题解中的x[]和y[]
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int q[N]; // bfs 用的队列
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
void bfs(int st, int dist[])
{
int tt = 0, hh = 0;
q[0] = st;
// 传入参数的 dist 是一个指针
// 不可以用 sizeof dist
memset(dist, 0x3f, 4 * N);
dist[st] = 0;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++];
// printf("t = %d h[t] = %d \n", t, h[t]);
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + 1)
{
dist[j] = dist[t] + 1;
// printf("dist[%d] = %d t = %d\n", j, dist[j], tt);
q[++ tt] = j;
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
memset(h, -1, sizeof h); // 莫忘！
for (int i = 0; i < k; ++ i)
{
scanf("%d", &a[i]);
}
for (int i = 0; i < m; ++ i)
{
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
add(x, y);
add(y, x);
}
bfs(1, dist1);
// printf("==bfs2\n");
bfs(n, dist2);
// 开始按照题解来，先按照 dist1[i] - dist2[i] 排序
sort(a, a + k, [&](int a, int b "&") {
return dist1[a] - dist2[a] < dist1[b] - dist2[b];
});
// b 作为最外层循环，找最大的 dist1[a] + 1 + dist2[b]
int x = dist1[a[0]], res = 0; // 对于第 b = 第一个点，a 也只能为第 0 个点（这里 x 是题解中红线的左上端点）
for (int i = 1; i < k; i ++ )
{
int t = a[i]; // 这里 dist2[t] 是题解中红线的右下端点
res = max(res, dist2[t] + 1 + x);
x = max(dist1[t], x);
}
// 最后与本来的最短路比较
res = min(res, dist1[n]);
printf("%d", res);
}
经验：
- 这里，我们将数组传入函数
int dist[]，不能使用memset(dist, 0x3f, sizeof dist);因为dist仅仅是一个指针，而非数组；我们的dist长度为N，且为int类型，因此memset(dist, 0x3f, N * 4);
参考资料
[1]
最大化最短路: https://www.acwing.com/problem/content/3800/