故事版的 Black Scholes

大名鼎鼎的 Black Scholes 期权公式来自 Black Scholes 偏微分方程 (PDE)，该 PDE 有很多种推导方法，最常见的两种就是：

一. 无风险组合法

1. 构建投资组合 Π = 1 单位衍生物 V + Δ 单位原生资产 x
2. 利用伊藤公式写出 dΠ 的表达式
3. 选取适当的 Δ 值将 dΠ 里随机项去掉，通常 Δ 是 V 对 x 的一阶导
4. 由于组合没有随机项无风险，它的回报也是无风险的，因此 dΠ = rΠdt，其中 r 是无风险利率
5. 整理上式得到 V 的偏微分方程

二. 费曼卡兹定理 (Feynman-Kac theorem)

两种方法的推导细节可参考【量化金融十大话题 (下)】中的第九章。

本帖用一种讲故事但不是那么严谨的方式来“把玩” Black Scholes 的 PDE。

故事发生于 1973 年，芝加哥期权交易所 (CBOE) 准备开始交易期权，在当时期权是个复杂产品，如果不能被快速定价，那就没得玩。

下面就是银行 Sales (红色人物) 和 Quant (蓝色人物) 之间的对话。

Quant 想：期权 V 是衍生品，那么其价值一定和原生资产 S (这里指股票) 和时间 t 有关系。股票是随机的，用布朗运动模拟其扩散过程，那么就用下面的扩散方程 (diffussion equation) 来描述期权 V(S, t) 吧。

好了，用讲故事的方式来推导 Black Scholes PDE，喜欢就点个在看吧！