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Python 内部是如何实现整数相加不溢出的?

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somenzz
发布2021-09-14 15:50:56
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发布2021-09-14 15:50:56
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文章被收录于专栏:Python七号Python七号

说实话昨天的文章划水了,阅读量就是最好的证明。这里读者的水平还是很高的,一看就看出了我的偷懒,标题 Python 的整数有边界么?肯定没有啊,于是就不打开看了。不过今天,我想接着昨天的话题,聊一聊 Python 是如何实现整数相加而不溢出的?

1、如何表示一个整数

要想了解这个,那就需要看 Python 的源代码[1],Python中的整数底层对应的结构体是PyLongObject,它位于 longobject.h[2] 中。

逐步展开如下:

//longobject.h
typedef struct _longobject PyLongObject; /* Revealed in longintrepr.h */
 
//longintrepr.h
struct _longobject {
    PyObject_VAR_HEAD
    digit ob_digit[1];
};
 
//合起来可以看成
typedef struct {
    PyObject_VAR_HEAD
    digit ob_digit[1];
} PyLongObject;

再把宏定义 PyObject_VAR_HEAD 展开:

typedef struct {
    PyObject_HEAD
    int ob_size;
    digit ob_digit[1];
} PyLongObject;

再把宏定义 PyObject_HEAD 展开,结构体中的变量我已经作了注释:

typedef struct {
    int ob_refcnt;    //引用计数
    struct _typeobject *ob_type; //变量类型
    int ob_size;       //用来指明变长对象中一共容纳了多少个元素
    digit ob_digit[1]; //digit类型的数组,长度为1
} PyLongObject;

这里面的 ob_size 用来指明变长对象中一共容纳了多少个元素,也就是 ob_digit 数组的长度,而这个 ob_digit 数组显然只能是用来维护具体的值。

到这里已经很明显了,Python 将大整数切割后存在 ob_digit,这个数组的长度是可变的,数据越大,数组越长,只要内存够用,存多大的数都可以。

那么下面的重点就在这个 ob_digit 数组了,我们看看 Python 中整数对应的值,比如 256,是怎么放在这个数组里面的。不过首先我们要看看这个digit 是个什么类型,它同样定义在 longintrepr.h 中

#if PYLONG_BITS_IN_DIGIT == 30
typedef uint32_t digit;
// ...
#elif PYLONG_BITS_IN_DIGIT == 15
typedef unsigned short digit;
// ...
#endif

PYLONG_BITS_IN_DIGIT 是一个宏,如果你的机器是 64 位的,那么它会被定义为 30,32 位机器则会被定义为 15。

而我们的机器现在基本上都是 64 位的,所以 PYLONG_BITS_IN_DIGIT会等于 30,因为 digit 等价于 uint32_t(unsigned int),所以它是一个无符号 32 位整型。

所以 ob_digit 这个数组是一个无符号 32 位整型数组,长度为 1。当然这个数组具体多长则取决于你要存储的 Python 整数有多大,因为 C 中数组的长度不属于类型信息,你可以看成是长度 n,而这个 n 是多少要取决于你的整数大小。显然整数越大,这个数组就越长,那么占用空间就越大。

为了说明 256 是如何存放在 ob_digit 里的,我们来简化下,这里假如 ob_digit 这个数组是一个无符号 8 位整型数组,8 位二进制,最大只能表示 255,我们要表示 256,那就只能再申请一个 8 位,也许你认为再申请一个 8 位来表示 1,其实不是的,是使用一个新的 8 位整数来模拟更高的位,如下所示:

255 = [255]
256 = [1,1]

256 = [1,1] 的形式也不是真实情况,为了你理解,先这样写,它表达的意思就是 256 = 1 + 1 * (2^8 - 1) = 1 + 1 * 255 = 256。

也就是说 ob_digit 表示 x 进制数,ob_digit[0] 是低位,ob_digit[1] 是高位,具体 x 是多少,取决于 ob_digit 的类型,这里 8 位,就是 255 进制。

刚才提到 256 = [1,1] 的形式也不是真实情况,因为 PyLongObject 不仅仅是为了存储大整数,也需要参与运算,具体怎么运算呢,那就是 ob_digit 逐位相加即可。

既然是相加,即又可能溢出,比如 [255 , 1] + [255, 1] = [510,2]

这里的 510 就超出了 8 位,为了简化处理,只要我们不用满 8 位,就不会溢出,也就是说,比如说只用 7 位,那最大也就是 [127,...] + [127,...] = [254,...] 也就不会溢出了。

到这里,你会明白,为什么 digit 虽然是无符号 32 位整数,却只使用 30 位了吧:

#if PYLONG_BITS_IN_DIGIT == 30
typedef uint32_t digit;
// ...
#elif PYLONG_BITS_IN_DIGIT == 15
typedef unsigned short digit;
// ...
#endif

聪明的你,可能会问,31 位就可以保证不溢出,为啥牺牲两位,用 30 位,答案我也不知道,可能是因为 64 是 32 的两倍, 30 也是 15 的两倍,这样看起来更舒服吧。

那如何表示负数呢,其实负数的话,就是 ob_size 变成了负的,其他没变。整数的正负号是通过这里的 ob_size 决定的。ob_digit 存储的其实是绝对值,无论 n 取多少,-n 和 n 对应的 ob_digit 是完全一致的,但是ob_size 则互为相反数。所以 ob_size 除了表示数组的长度之外,还可以表示对应整数的正负。

所以 Python 在比较两个整型的大小时,会先比较 ob_size,如果 ob_size 不一样则可以直接比较出大小来。

总结一下,就是当 PYLONG_BITS_IN_DIGIT == 30 的时候,整数 = ob_digit[0] + ob_digit[1] * 2 ** 30 + ob_digit[2] * 2 ** 60 + ...

2、整数占用内存大小

理解了这一点,我们再看一下这个结构体:

typedef struct {
    int ob_refcnt;    //引用计数
    struct _typeobject *ob_type; //变量类型
    int ob_size;       //用来指明变长对象中一共容纳了多少个元素
    digit ob_digit[1]; //digit类型的数组,长度为1
} PyLongObject;

一个整数占用多少个字节,取决于 PyLongObject 这个结构体占用多少字节,ob_refcnt、ob_type、ob_size 这三个是整数所必备的,它们都是 8 字节,加起来 24 字节。所以任何一个整数所占内存都至少 24 字节,至于具体占多少,则取决于 ob_digit 里面的元素都多少个。

现在的你不难理解以下结果:

3、整数池

此外 Python 中的整数属于不可变对象,运算之后会创建新的对象:

>>> a = 300
>>> id(a)
140220663619152
>>> a += 1
>>> id(a)
140220663619408
>>>

这样就势必会有性能缺陷,因为程序运行时会有对象的创建和销毁,就是涉及内存的申请和垃圾回收,一个常用的手段就是使用对象池,将频率高的整数预先创建好,而且都是单例模式,需要使用时直接返回。

小整数对象池的实现位于 pycore_interp.h[3] 中:

验证一下:

>>> a = -6
>>> b = -6
>>> a is b
False
>>> a = -5
>>> b = -5
>>> a is b
True
>>> a = 256
>>> b = 256
>>> a is b
True
>>> a = 257
>>> b = 257
>>> a is b
False
>>>

不同的版本可能会不同,我这里 Python3.8,区间为 [-5,257)。

4、整数加减法

有了前面的铺垫,现在我们来看下 Python 中大整数是如何相加的,源代码 longobject.c : long_add 函数[4]

可以看到 long_add 根据 ob_size 的正或负来调用 x_add 或 x_sub。

现在看一下 x_add 的源代码:

可以看到,Python 大整数的相加就是底层数组的相加,当然还会涉及到进位等操作:

for (i = 0; i < size_b; ++i) {
 carry += a->ob_digit[i] + b->ob_digit[i];
 z->ob_digit[i] = carry & PyLong_MASK;
 carry >>= PyLong_SHIFT;
}

x_sub 的源代码:

4、整数乘法

Python 整数乘法使用的是 Karatsuba multiplication[5] 算法进行的大数乘法,感兴趣的可以研究一下。

最后的话

源码之下无秘密,看源码会比较辛苦,却可以学到精髓和本质,本文通过源码逐层展开,带你了解了下 Python 整数对象的实现、整数内存大小的计算,整数池,整数加减法源码,相信你已经知道了 Python 是如何实现整数想加而不溢出的。如果有收获,还请点在、点赞、转发,感谢一路的支持和陪伴。

都看到这里了,你确定不关注一下:

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参考资料

[1]

源代码: https://github.com/python/cpython

[2]

longobject.h: https://github.com/python/cpython/blob/main/Include/longobject.h

[3]

pycore_interp.h: https://github.com/python/cpython/blob/main/Include/internal/pycore_interp.h

[4]

longobject.c : long_add 函数: https://github.com/python/cpython/blob/main/Objects/longobject.c

[5]

Karatsuba multiplication: https://en.wikipedia.org/wiki/Karatsuba_algorithm

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原始发表:2021-08-19,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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