【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（1）：二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数

海轰Pro

发布于 2021-09-15 15:10:26

7290

发布于 2021-09-15 15:10:26

前言

Hello！小伙伴！非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰标签：程序猿｜C++选手｜学生简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！机器学习小白阶段文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习知其然知其所以然！

二阶与三阶行列式

二阶行列式

记作

\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)

定义

主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差，即：

a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}

注：行列式本质是一个数值，比如

\(\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 &4 \end{vmatrix}\)

代表的就是数值(-2=1×4-2×3)

举例

\(\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = ？\)

答：

\(\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3*1-(-2)*2=3-(-4)=7\)

三阶行列式

记作

\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}\)

举例

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2\\ \end{vmatrix} = ？\)

答：

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2 \end{vmatrix}=1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)=-14\)

全排列及其逆序数

全排列

定义

从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

当m=n时所有的排列情况叫全排列。

公式

全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

举例

用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

答：3×2×1=6种。假设先放百位，有三种可能，再放十位，有两种可能，最后放个位，只有一种可能了。故为3×2×1=6种

从上面例子可以发现：

当有n个不同数字进行排列时第一个位置有(n)选择，第二个位置有(n-1)种选择...第n个位置有1种选择，一共有n(n-1)(n-2)...2*1种可能，也就是n!种排列方式。

我们用

P_{n}

表示n种不同元素的所有排列的种数，则

P_n=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1=n!

逆序数

概念

标准次序：n个不同的数字，我们可以规定从小到大为标准次序
逆序：与标准排列次序相反（比如两个元素排序是从大到小，与标准次序相反，则视为逆序）
排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数

计算排列的逆序数的方法

n个元素（依次为1,2,3...n-1,n），规定从小到大为标准次序

设

p_1p_2...p_n

为这n个元素的一个排列，对于元素

p_i

(i=1,2...,n)，如果比

p_i

大的且排在

p_i

前面的元素有

t_i

个，那么就说

p_i

这个元素的逆序数是

t_i

。

全体元素的逆序数总和为t，那么

t=t_2+t_2+...+t_n=\sum_{t=1}^nt_i

即是这个排列的逆序数。

举例

求排列32514的逆序数

答：3在第一位，前面没有数，逆序数为0 2在第二位，前面的数中，有一个数3比2大，所以逆序数为1 5的前面没有比5的数，逆序数为0 1的前面比1大的数有：3、2、5，所以逆序数为3 4的前面比4大的只有5，所以逆序数为1 综上，该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5

补充概念

齐排列：逆序数为奇数的排列
偶排列：逆序数为偶数的排列

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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原始发表：2021-09-12 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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