震惊！东某吃葡萄时竟然吃出一道算法题🤔

学算法认准labuladong 东哥带你手把手撕力扣😏

今天在牛客网上做了一道叫做「吃葡萄」的题目，非常有意思：

有三种葡萄，每种分别有a, b, c颗，现在有三个人，第一个人只吃第一种和第二种葡萄，第二个人只吃第二种和第三种葡萄，第三个人只吃第一种和第三种葡萄。

现在给你输入a, b, c三个值，请你适当安排，让三个人吃完所有的葡萄，算法返回吃的最多的人最少要吃多少颗葡萄。

题目链接：

https://www.nowcoder.com/questionTerminal/14c0359fb77a48319f0122ec175c9ada

牛客网的题目形式和力扣不一样，我去除输入和输出的处理，题目核心就是让你实现这样一个函数：

// 输入为三种葡萄的颗数，可能非常大，所以用 long 型
// 返回吃的最多的人最少要吃多少颗葡萄
long solution(long a, long b, long c);

题目解析

首先来理解一下题目，你怎么做到使得「吃得最多的那个人吃得最少」？

可以这样理解，我们先不管每个人只能吃两种特定葡萄的约束，你怎么让「吃得最多的那个人吃得最少」？

显然，只要平均分就行了，每个人吃(a+b+c)/3颗葡萄。即便不能整除，比如说a+b+c=8，那也要尽可能平均分，就是说一个人吃 2 颗，另两个人吃 3 颗。

综上，「吃得最多的那个人吃得最少」就是让我们尽可能地平均分配，而吃的最多的那个人吃掉的葡萄颗数就是(a+b+c)/3向上取整的结果，也就是(a+b+c+2)/3。

PS：向上取整是一个常用的算法技巧。大部分编程语言中，如果你想计算M除以N，M / N会向下取整，你想向上取整的话，可以改成(M+(N-1)) / N。

好了，刚才在讨论简单情况，现在考虑一下如果加上「每个人只能吃特定两种葡萄」的限制，怎么做？

也就是说，每个人只能吃特定两种葡萄，你也要尽可能给三个人平均分配，这样才能使得吃得最多的那个人吃得最少。

这可复杂了，如果用X, Y, Z表示这三个人，就会发现他们组成一个三角关系：

你让某一个人多吃某一种葡萄，就会产生连带效应，想着就头疼，这咋整？

思路分析

反正万事靠穷举呗，我一开始想了下回溯算法暴力穷举的可能性：

对于每一颗葡萄，可能被谁吃掉？有两种可能呗，那么我写一个回溯算法，把所有可能穷举出来，然后求个最值行不行？

理论上是可行的，但是暴力算法的复杂度一般都是指数级，如果你以葡萄为「主角」进行穷举，看看变量a, b, c都是 long 型的数据，这个复杂度已经让我脊梁沟冒冷汗了。

那么这道题还是得取巧，思路还是要回到如何「尽可能地平均分配」上面，那么事情就变得有意思起来🤣

如果把葡萄的颗数a, b, c作为三条线段，它们的大小作为线段的长度，想一想它们可能组成什么几何图形？我们的目的是否可以转化成「尽可能平分这个几何图形的周长」？

三条线段组成的图形，那不就是三角形嘛？不急，我们小学就学过，三角形是要满足两边之和大于第三边的，假设a < b < c，那么有下面两种情况：

如果a + b > c，那么可以构成一个三角形，只要取每条边的中点，就一定可以把这个三角形的周长平分成三份，且每一份都包含两条边：

也就是说，这种情况下，三个人依然是可以平均分配所有葡萄的，吃的最多的人最少可以吃到的葡萄颗数依然是(a+b+c+2)/3。

如果a + b <= c，这三条边就不能组成一个封闭的图形了，那么我们可以将最长边c「折断」，也就是形成一个四边形。

这里面有两种情况：

对于情况一，a + b和c的差距还不大的时候，可以看到依然能够让三个人平分这个四边形，那么吃的最多的人最少可以吃到的葡萄颗数依然是(a+b+c+2)/3。

随着c的不断增大，就会出现情况二，此时c > 2*(a+b)，由于每个人口味的限制，X顶多吃完a和b，为了尽可能平分，c边需要被Y或Z平分，也就是说此时吃的最多的人最少可以吃到的葡萄颗数就是(c+1)/2，即平分c边向上取整。

以上就是全部情况，翻译成代码如下：

long solution(long a, long b, long c) {
    long[] nums = new long[]{a, b, c};
    Arrays.sort(nums);
    long sum = a + b + c;

    // 能够构成三角形，可完全平分
    if (nums[0] + nums[1] > nums[2]) {
        return (sum + 2) / 3;
    }
    // 不能构成三角形，平分最长边的情况
    if (2 * (nums[0] + nums[1]) < nums[2]) {
        return (nums[2] + 1) / 2;
    }
    // 不能构成三角形，但依然可以完全平分的情况
    return (sum + 2) / 3;
}

至此，这道题就被巧妙地解决了，时间复杂度仅需 O(1)，关键思路在于如何尽可能平分。

谁又能想到，吃个葡萄得借助几何图形？也许这就算法的魅力吧…