这道「完美矩形」给我整不会了…
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读完本文，可以去力扣解决如下题目：
31.完美矩形（Hard）
今天讲一道非常有意思，而且比较有难度的题目。
我们知道一个矩形有四个顶点，但是只要两个顶点的坐标就可以确定一个矩形了（比如左下角和右上角两个顶点坐标）。
来看看力扣第 391 题「完美矩形」，题目会给我们输入一个数组rectangles，里面装着若干四元组(x1,y1,x2,y2)，每个四元组就是记录一个矩形的左下角和右上角顶点坐标。
也就是说，输入的rectangles数组实际上就是很多小矩形，题目要求我们输出一个布尔值，判断这些小矩形能否构成一个「完美矩形」。函数签名如下：
def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool
所谓「完美矩形」，就是说rectangles中的小矩形拼成图形必须是一个大矩形，且大矩形中不能有重叠和空缺。
比如说题目给我们举了几个例子：
这个题目难度是 Hard，如果没有做过类似的题目，还真做不出来。
常规的思路，起码要把最终形成的图形表示出来吧，而且你要有方法去判断两个矩形是否有重叠，是否有空隙，虽然可以做到，不过感觉异常复杂。
其实，想判断最终形成的图形是否是完美矩形，需要从「面积」和「顶点」两个角度来处理。
先说说什么叫从「面积」的角度。
rectangles数组中每个元素都是一个四元组(x1, y1, x2, y2)，表示一个小矩形的左下角顶点坐标和右上角顶点坐标。
那么假设这些小矩形最终形成了一个「完美矩形」，你会不会求这个完美矩形的左下角顶点坐标(X1, Y1)和右上角顶点的坐标(X2, Y2)？
这个很简单吧，左下角顶点(X1, Y1)就是rectangles中所有小矩形中最靠左下角的那个小矩形的左下角顶点；右上角顶点(X2, Y2)就是所有小矩形中最靠右上角的那个小矩形的右上角顶点。
注意我们用小写字母表示小矩形的坐标，大写字母表示最终形成的完美矩形的坐标，可以这样写代码：
# 左下角顶点，初始化为正无穷，以便记录最小值
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
# 右上角顶点，初始化为负无穷，以便记录最大值
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
# 取小矩形左下角顶点的最小值
X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
# 取小矩形右上角顶点的最大值
X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
这样就能求出完美矩形的左下角顶点坐标(X1, Y1)和右上角顶点的坐标(X2, Y2)了。
计算出的X1,Y1,X2,Y2坐标是完美矩形的「理论坐标」，如果所有小矩形的面积之和不等于这个完美矩形的理论面积，那么说明最终形成的图形肯定存在空缺或者重叠，肯定不是完美矩形。
代码可以进一步：
def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
# 记录所有小矩形的面积之和
actual_area = 0
for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
# 计算完美矩形的理论坐标
X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
# 累加所有小矩形的面积
actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)
# 计算完美矩形的理论面积
expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
# 面积应该相同
if actual_area != expected_area:
return False
return True
这样，「面积」这个维度就完成了，思路其实不难，无非就是假设最终形成的图形是个完美矩形，然后比较面积是否相等，如果不相等的话说明最终形成的图形一定存在空缺或者重叠部分，不是完美矩形。
但是反过来说，如果面积相同，是否可以证明最终形成的图形是完美矩形，一定不存在空缺或者重叠？
肯定是不行的，举个很简单的例子，你假想一个完美矩形，然后我在它中间挖掉一个小矩形，把这个小矩形向下平移一个单位。这样小矩形的面积之和没变，但是原来的完美矩形中就空缺了一部分，也重叠了一部分，已经不是完美矩形了。
综上，即便面积相同，并不能完全保证不存在空缺或者重叠，所以我们需要从「顶点」的维度来辅助判断。
记得小学的时候有一道智力题，给你一个矩形，切一刀，剩下的图形有几个顶点？答案是，如果沿着对角线切，就剩 3 个顶点；如果横着或者竖着切，剩 4 个顶点；如果只切掉一个小角，那么会出现 5 个顶点。
回到这道题，我们接下来的分析也有那么一点智力题的味道。
显然，完美矩形一定只有四个顶点。矩形嘛，按理说应该有四个顶点，如果存在空缺或者重叠的话，肯定不是四个顶点，比如说题目的这两个例子就有不止 4 个顶点：
PS：我也不知道应该用「顶点」还是「角」来形容，好像都不太准确，本文统一用「顶点」来形容，大家理解就好~
只要我们想办法计算rectangles中的小矩形最终形成的图形有几个顶点，就能判断最终的图形是不是一个完美矩形了。
那么顶点是如何形成的呢？我们倒是一眼就可以看出来顶点在哪里，问题是如何让计算机，让算法知道某一个点是不是顶点呢？这也是本题的难点所在。
看下图的四种情况：
图中画红点的地方，什么时候是顶点，什么时候不是顶点？显然，情况一和情况三的时候是顶点，而情况二和情况四的时候不是顶点。
也就是说，当某一个点同时是 2 个或者 4 个小矩形的顶点时，该点最终不是顶点；当某一个点同时是 1 个或者 3 个小矩形的顶点时，该点最终是一个顶点。
注意，2 和 4 都是偶数，1 和 3 都是奇数，我们想计算最终形成的图形中有几个顶点，也就是要筛选出那些出现了奇数次的顶点，可以这样写代码：
def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
actual_area = 0
# 哈希集合，记录最终图形的顶点
points = set()
for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)
# 先算出小矩形每个点的坐标
p1, p2 = (x1, y1), (x1, y2)
p3, p4 = (x2, y1), (x2, y2)
# 对于每个点，如果存在集合中，删除它；
# 如果不存在集合中，添加它；
# 在集合中剩下的点都是出现奇数次的点
for p in [p1, p2, p3, p4]:
if p in points: points.remove(p)
else: points.add(p)
expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
if actual_area != expected_area:
return False
return True
这段代码中，我们用一个points集合记录rectangles中小矩形组成的最终图形的顶点坐标，关键逻辑在于如何向points中添加坐标：
如果某一个顶点p存在于集合points中，则将它删除；如果不存在于集合points中，则将它插入。
这个简单的逻辑，让points集合最终只会留下那些出现了 1 次或者 3 次的顶点，那些出现了 2 次或者 4 次的顶点都被消掉了。
那么首先想到，points集合中最后应该只有 4 个顶点对吧，如果len(points) != 4说明最终构成的图形肯定不是完美矩形。
但是如果len(points) == 4是否能说明最终构成的图形肯定是完美矩形呢？也不行，因为题目并没有说rectangles中的小矩形不存在重复，比如下面这种情况：
下面两个矩形重复了，按照我们的算法逻辑，它们的顶点都被消掉了，最终是剩下了四个顶点；再看面积，完美矩形的理论坐标是图中红色的点，计算出的理论面积和实际面积也相同。但是显然这种情况不是题目要求完美矩形。
所以不仅要保证len(points) == 4，而且要保证points中最终剩下的点坐标就是完美矩形的四个理论坐标，直接看代码吧：
def isRectangleCover(rectangles: List[List[int]]) -> bool:
X1, Y1 = float('inf'), float('inf')
X2, Y2 = -float('inf'), -float('inf')
points = set()
actual_area = 0
for x1, y1, x2, y2 in rectangles:
# 计算完美矩形的理论顶点坐标
X1, Y1 = min(X1, x1), min(Y1, y1)
X2, Y2 = max(X2, x2), max(Y2, y2)
# 累加小矩形的面积
actual_area += (x2 - x1) * (y2 - y1)
# 记录最终形成的图形中的顶点
p1, p2 = (x1, y1), (x1, y2)
p3, p4 = (x2, y1), (x2, y2)
for p in [p1, p2, p3, p4]:
if p in points: points.remove(p)
else: points.add(p)
# 判断面积是否相同
expected_area = (X2 - X1) * (Y2 - Y1)
if actual_area != expected_area:
return False
# 判断最终留下的顶点个数是否为 4
if len(points) != 4: return False
# 判断留下的 4 个顶点是否是完美矩形的顶点
if (X1, Y1) not in points: return False
if (X1, Y2) not in points: return False
if (X2, Y1) not in points: return False
if (X2, Y2) not in points: return False
# 面积和顶点都对应，说明矩形符合题意
return True
这就是最终的解法代码，从「面积」和「顶点」两个维度来判断：
1、判断面积，通过完美矩形的理论坐标计算出一个理论面积，然后和rectangles中小矩形的实际面积和做对比。
2、判断顶点，points集合中应该只剩下 4 个顶点且剩下的顶点必须都是完美矩形的理论顶点。
说实话，如果没做过，这种特性真不是一时半会能想到的，但是看过一遍没问题了，你学会了吗？