六一童心未泯的朋友，看完没有不转的

六一儿童节，一起玩玩三个小学生家庭作业题。

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …

S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

一、S1的求和过程最简单

S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

1 - S1 = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1- 1 + …)

            = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …

            = S1

即

1 - S1 = S1

故

S1 = 1/2

S1被称为格兰迪(Grandi)级数，它有着很成熟的证明过程及结论。

二、S2的求和过程要利用到S1的结论

S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … // 等式1

S2 =      1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … // 等式2，错开了一个位置

上面两个式子相加：

2S2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 + …

= S1 = 1/2

故

S2 = 1/4

三、S3的求和过程要利用到S2的结论

S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …

S2 = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …

上面两个式子相减：

S3 - S2 = (1 + 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + …)

               - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + …)

              = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + …

              = 4*(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + …)

              = 4*S3

即

3*S3 = -S2 = -1/4

故

S3 = -1/12

最终

S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … = -1/12

正整数无穷求和公式，等于一个负数。

该结论在Joseph Polchinski所著的《STRING THEORY》一书有引用，并广泛应用于物理相关领域。

童心未泯的朋友，神奇吗？