【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（2）：n阶行列式、对换
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前言
Hello！小伙伴！ 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～ 自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰 标签：程序猿｜C++选手｜学生 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！ 机器学习小白阶段 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习 知其然 知其所以然！
1.3 n阶行列式
三阶行列式为：
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}\]
从中我们可以发现规律：
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}\]
其中t为排列
的逆序数
进而推出n阶行列式：
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\]
特殊情况1：
\[\begin{vmatrix} \lambda_1 & & & & \\ & \lambda_2 & & & \\ & & . & & \\ & & & . &\\ & & & & \lambda_n \end{vmatrix}=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n\]
特殊情况2：
\[\begin{vmatrix} & & & & \lambda_1 \\ &&& \lambda_2 &\\ && . &&\\ & . &&&\\ \lambda_n &&&& \end{vmatrix}= (-1)^\frac{n(n-1)}{2}\lambda_1\lambda_2...\lambda_n （其中(-1)^\frac{n(n-1)}{2}为排列n、 n-1 ... 3、 2、 1的逆序数）\]
1.4 对换
1.4.1 排列的对换
概念
- 对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动。
- 相邻对换：在排列中，相邻两个元素进行对换
定理1
内容
一个排列中任意两个元素对换，奇偶性发生改变
证明
首先证明相邻对换的情况
设排列
a和b对换，变成
显然，
、
这些元素的逆序数没有发生变化
当a<b时
- 从ab变为ba，a的逆序数+1（a前面多了一个b），b的逆序数不变
当a>b时，
- 从ab变为ba，a的逆序数不变，b的逆序数-1（b前面少了一个a）
所以
排列中发生相邻对换，奇偶性会发现变化（奇排列-> 偶排列 or 偶排列->奇排列）
再来证明一般情况
,a与b发生对换，变为
我们可以先用
与
进行相邻对换，变为
再用
与
进行相邻对换，变为
. . . 最后
与
进行相邻对换，变为
一共经历了m次相邻对换
和
对换，一共就是m次
然后，我们再用
与
进行相邻对换,变为
再用
与
进行相邻对换,变为
. . . 最后
与
进行相邻对换,变为
一共经历了（m+1）次相邻对换
综上
一共发生了m+（m+1）=2m+1次相邻对换
从最开始的证明可以得出
2m+1次相邻对换后，排列的奇偶性还是会发生改变 （交换1次，奇偶性发生转变；交换2次，奇偶性不发生变化-->交换奇数次，奇偶性发生转变；偶数次则不会。2m+1一定是奇数 ，当m为正整数时）
推论
齐排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。
说明
首先，标准排列是逆序数为0的偶排列 从定理1可以得知，对换一次，奇偶性发生改变 若是齐排列，对换一次，奇->偶，再对换一次，偶->奇... 对换奇数次，最后变为了偶排列； 对换偶数次，最后变为奇排列。 所以齐排列变成标准排列的对换次数一定为奇数。 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数同理可证。
1.4.2 行列式的另一种表示方法
n阶行列式有：
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}\]
我们选择任意一项：
，其中1...i...j...n为自然排列，
中的t为逆序数
然后交换
，得到
我们来计算奇偶性的变化
首先，我们知道只是交换来两个元素的位置，该项的值是不会发生变化的。
行标从 1...i...j...n 变为了 1...j...i...n，可以得出排列1...j...i...n的逆序数为是奇数，设为r
因为1...i...j...n逆序数为0，偶排列 根据排列任意元素对换，奇偶性改变， 1...j...i...n就变成了齐排列，那么其逆序数一定就是奇数
同样，设
（列标）的逆序数为
,得到
前面的正负符号为
因为
的逆序数为t
前面的系数为
对换一次变为
奇偶性发生变化 其实就是乘以（-1） （排列中，任意两个元素发生对换，奇偶性发生变化，其实就是乘以（-1）） 所以
又因为r为奇数，有
综合下面两个式子：
\[\begin{cases} (-1)^{t_1}=(-1)(-1)^t=-(-1)^t\\ （-1）^r=-1 \end{cases} \]
得到：
\[(-1)^{r+t_1}=(-1)^r(-1)^{t_1}=(-1) * (-1)^{t_1}=(-1)*(-(-1)^t)=(-1)^t \]
推出：
\[(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}=(-1)^{r+t1}a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n} \]
说明
对换行列式中某一项两个元素的位置，使得行坐标、列坐标同时发生变化，但是却并不会改变该项的奇偶性。
一次交换不会改变奇偶性，那么多次交换也不会改变奇偶性
经历若干次对换 列标排列
一定可以变为自然排列（1 2 3... n）
设若干次变换后 列标排列变为了自然排列 行标排列设为
，则有
\[(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=(-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn} \]
对于其中任意一项
，有
\[\begin{cases} a_{ij}=a_{ip_i}\\ a_{ij}=a_{q_jj} \end{cases} \]
得到
\[\begin{cases} j=p_i\\ i=q_j \end{cases} \]
说明由
可以确定唯一对应的一个
，比如
说明
且唯一！
那么由
可以确定唯一的
定理2
内容
n阶行列式也可以定义为：
证明
首先，n阶行列式有：
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\]
令
\[\begin{cases} D=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\\ D_1=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn} \end{cases} \]
从定理1最后的讨论中可以得到：
D中任意一项
有且只有一项D1中的某一项
与之对应（q是可以有p确定的）； 同理，D1中任意一项
也有且只有D中的某一项
与之对应 说明，D与D1中的任意一项都可以一一对应
可以得到
所以
\[\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn} \]
结语
说明：
- 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
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