傅里叶变换简单推导

概念

傅里叶级数：任何周期函数，只要满足一定条件都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦之和的形式，该和称为傅里叶级数。

傅里叶变换：任何非周期函数（但该曲线下的面积是有限的），也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示，在这种情况下的公式就是傅里叶变换。

傅里叶级数与傅里叶变换的关系：周期函数的周期可以趋向无穷大，这样就可以将傅里叶变换看成是傅里叶级数的推广。

推导中的重要数学公式

在三角函数系里任取两个不同的函数f(x),g(x)(1也可以看作一个函数).都有以下公式成立:

结论就是：任取三角函数系的不同函数相乘在一个周期的积分都为0，只有相同的函数才不为0。

傅里叶级数

傅里叶级数本质就是用无穷多个三角函数来表示或者无限近似函数f(t).公式如下

在上面的三角函数系里除了1,sin(x), cos(x), 其他函数其实都是在sin(x), cos(x)的乘上一个系数.

这里sin(x), cos(x)的T=2π/1. 我们令w=2π/T. 称w为基频率. 在上面的三角函数系里基频率就是1.

如果把最开始的sin(x),cos(x)换成sin(1.5x), cos(1.5x). 那么整个三角函数系就变了.基频率也就变了.

所以我们还需要一个变量w来描述三角函数系长什么样子.上面公式没有w只是因为碰巧w=1而已. 所以傅里叶级数完整公式如下：

推导

分析上面的公式,t是变量,其实sin,cos里面都是固定的.不知道的只有a0,an,bn.

如果知道了a0,an,bn,那函数f(t)就写成了三角函数之和的形式了.下面就来求a0,an,bn

现在把a0,an,bn, 带入上面求cn的公式，发现对于任意整数n, cn的表达式都是一样的，即：

其中cn是可以通过上面公式算出来的复数. 而e的指数inwt, 对于每一个不同的函数f(t)其实都是一样的.那么决定函数的不同其实就是cn.

我们知道一系列这样的(t,f(t))对就可以画出函数图像, 也就是说这样的(t,f(t))能够唯一确定函数. 但是现在我们的函数由这样的(n,cn)对来确定了.

其实也就是说函数表示发生了转化–从时域到频域的转化. 函数值是不变的, 它们等号连接的嘛. 只是表述的方式改变了. 如下图：

任意函数傅里叶变换

对于一个非周期函数，我们可以假设它是个周期函数，它的周期T→+∞，就可以用上面的公式求出了。

w是基频率.w=2π/T。当T→+∞时，w→0。w=(n+1)w − nw=Δw，所以Δw→0。

从上图可以看到，随着Δw→0，nw会从一个离散的量变为一个连续的变量。

对于上小节中cn可以写作

那么,对于任意函数的变换为

当Δw→0时，(n+1)w和nw就几乎相等。令W=nw，(w是一经确定就不变的量，n才是离散的变量)，那么就可以把W看作连续变化的量。

所以上式求和就可写作求积分。

其中，括号中的内容的积分变量是t，也就是说它是关于W的函数.令

那么函数F(W)就是f(t)的傅里叶变换.把F(W)带入f(t)得

f(t)就是傅里叶变换的逆变换。