渲染方程(1):Radiometry

光线的反射，实质是光子在传输过程中的能量转换，传统的Blinn-Phong模型仅仅模拟了这个过程，渲染方程则通过数学模型量化这个反射过程，从而获取基于物理正确的渲染结果。要想理解该方程，则需要具备辐射度量学（Radiometry）的基本知识。

这里，我们认为光的传播是瞬时的，忽略时间的作用；仅考虑光线在传输过程中的粒子特性，而忽略其光波的特性；仅考虑弹性散射，光子碰撞时保持各自的能量，不存在能量不同的光子间能量传递。

能量的单位是焦耳，一个光子对应的能量是：

这里，

是普朗克常量，

是光在介质中的速度，

是该光子对应的波长。

在单位体中，会有一定数量

的光子，假设它们的波长相同，累加所有光子的能量总和则为radiant energy，辐射能：

这些光子都会高速运动，我们通常需要衡量在一定时间内有多少光子穿过这个单位体，称为radiant flux，辐射功率，单位是瓦特W：

考虑到空间，这里还有一个solid angle的概念，称为立体角。立体角可以当作三维空间的弧度来理解，定义是表面积和半径平方的比例：

如上图，则对应一个球对应的立体角，这也解释了全景角为何是720°：

有了如上的定义，我们则可以描述这样的一个过程，当光源向四面八方辐射能量(radiant Intensity)，然后在任何一个表面，会接收到的能量(irradiance)，以及在这个传播过程中光线的能量(radiance)

图1

Radiant intensity

Radiant intensity是描述一个点光源的能量相对于立体角的分布情况：

这样，如下的一个光源，radiant flux是它的能量，单位是瓦，比如我们买灯泡时，都会关注这个灯泡的功率，瓦，而radiant intensity则对应该光源在某个方向ω上的能量，假设在任意方向上能量均匀分布，则有如下结论：

Irradiance

radiant intensity是单位方向上的能量，而irradiance则对应入射到单位表面积下的能量（对应图1中间）：

因此，在类似场景下，irradiance对应的变化如下：

可见，随着半径的增加，立体角并没有变化，intensity不变，而irradiance则随着半径平方（面积）而衰减。

Radiance

Radiance对应能量在单位立体角且在单位面积上的分布。Radiance用于描述光线传输中的能量分布，我们确定一个微表面，再确定一个方向，这样可以描述对应的光线携带的能量。：

这样，我们可以通过radiance和intensity，以及irradiance之间建立关联：

Exiting radiance则相当于一个微表面dA下对应的intensity（方向ω上射出的能量）：

Incident radiance相当于仅考虑从某一个方向ω射入的irradiance（

上的能量）：

同理，不难理解radiance和irradiance之间的关系，当我们考虑从各个方向进来的radiance，对其积分求和，最终得到整个

表面的irradiance：

这里，

是该微表面对应的半球。基于这些概念，下一篇和大家介绍渲染方程的理解、推导过程。

参考资料

P14~P15 Games101

Path tracing in Production Siggraph 2019

light transport, Advanced Graphics, GMT, Utrecht University