【动态规划/背包问题】完全背包求方案数
【动态规划/背包问题】完全背包求方案数
前言
今天是我们讲解「动态规划专题」中的「背包问题」的第二十篇。
今天将学习「背包问题求具体方案」问题。
另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。
背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。
你可以先尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~
题目描述
这是 LeetCode 上的「1449. 数位成本和为目标值的最大数字」，难度为 「困难」。
Tag : 「完全背包」、「背包问题」、「动态规划」
给你一个整数数组
和一个整数
。请你返回满足如下规则可以得到的 最大 整数：
- 给当前结果添加一个数位
的成本为
（
数组下标从
开始）
- 总成本必须恰好等于
- 添加的数位中没有数字
由于答案可能会很大，请你以字符串形式返回。
如果按照上述要求无法得到任何整数，请你返回 "0" 。
示例 1：
输入：cost = [4,3,2,5,6,7,2,5,5], target = 9
输出："7772"
解释：添加数位 '7' 的成本为 2 ，添加数位 '2' 的成本为 3 。所以 "7772" 的代价为 2*3+ 3*1 = 9 。 "977" 也是满足要求的数字，但 "7772" 是较大的数字。
数字 成本
1 -> 4
2 -> 3
3 -> 2
4 -> 5
5 -> 6
6 -> 7
7 -> 2
8 -> 5
9 -> 5
示例 2：
输入：cost = [7,6,5,5,5,6,8,7,8], target = 12
输出："85"
解释：添加数位 '8' 的成本是 7 ，添加数位 '5' 的成本是 5 。"85" 的成本为 7 + 5 = 12 。
示例 3：
输入：cost = [2,4,6,2,4,6,4,4,4], target = 5
输出："0"
解释：总成本是 target 的条件下，无法生成任何整数。
示例 4：
输入：cost = [6,10,15,40,40,40,40,40,40], target = 47
输出："32211"
提示：
- cost.length == 9
- 1 <= cost[i] <= 5000
- 1 <= target <= 5000
基本分析
根据题意：给定
~
几个数字，每个数字都有选择成本，求给定费用情况下，凑成的最大数字是多少。
通常我们会如何比较两数大小关系？
首先我们 根据长度进行比较，长度较长数字较大；再者，对于长度相等的数值，从高度往低位进行比较，找到第一位不同，不同位值大的数值较大。
其中规则一的比较优先级要高于规则二。
基于此，我们可以将构造分两步进行。
完全背包 + 贪心
具体的，先考虑「数值长度」问题，每个数字有相应选择成本，所能提供的长度均为
。
问题转换为：有若干物品，求给定费用的前提下，花光所有费用所能选择的最大价值（物品个数）为多少。
每个数字可以被选择多次，属于完全背包模型。
当求得最大「数值长度」后，考虑如何构造答案。
根据规则二，应该尽可能让高位的数值越大越好，因此我们可以从数值
开始往数值
遍历，如果状态能够由该数值转移而来，则选择该数值。
代码：
class Solution {
public String largestNumber(int[] cost, int t) {
int[] f = new int[t + 1];
Arrays.fill(f, Integer.MIN_VALUE);
f[0] = 0;
for (int i = 1; i <= 9; i++) {
int u = cost[i - 1];
for (int j = u; j <= t; j++) {
f[j] = Math.max(f[j], f[j - u] + 1);
}
}
if (f[t] < 0) return "0";
String ans = "";
for (int i = 9, j = t; i >= 1; i--) {
int u = cost[i - 1];
while (j >= u && f[j] == f[j - u] + 1) {
ans += String.valueOf(i);
j -= u;
}
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
思考 & 进阶
懂得分两步考虑的话，这道题还是挺简单。虽然是「DP」+「贪心」，但两部分都不难。
其实这道题改改条件/思路，也能衍生出几个版本：
- 【思考】如何彻底转化为「01 背包」或者「多重背包」来处理？ 完全背包经过一维优化后时间复杂度为
。是否可以在不超过此复杂度的前提下，通过预处理物品将问题转换为另外两种传统背包？
- 对于「多重背包」答案是可以的。由于给定的最终费用
，我们可以明确算出每个物品最多被选择的次数，可以在
的复杂度内预处理额外的
数组。然后配合「单调队列优化」，做到
复杂度，整体复杂度不会因此变得更差。 但转换增加了「预处理」的计算量。为了让转换变成“更有意义”，我们可以在「预处理」时顺便做一个小优化：对于相同成本的数字，只保留数值大的数字。不难证明，当成本相同时，选择更大的数字不会让结果变差。
- 对于「01 背包」答案是不可以。原因与「多重背包」单纯转换为「01 背包」不会降低复杂度一致。因此本题转换成「01 背包」会使得
发生非常数级别的增大。
- 【进阶】不再是给定数值
~
（取消
数组），转为给定
数组（代表所能选择的数字，不包含
），和相应
数组（长度与
一致，代表选择
所消耗的成本为
）。现有做法是否会失效？ 此时
中不再是只有长度为
的数值了。但我们「判断数值大小」的两条规则不变。因此「第一步」不需要做出调整，但在进行「第二步」开始前，我们要先对物品进行「自定义规则」的排序，确保「贪心」构造答案过程是正确的。规则与证明都不难请自行思考。
- 【进阶】在进阶
的前提下，允许
出现
，且确保答案有解（不会返回答案
）,该如何求解？ 增加数值
其实只会对最高位数字的决策产生影响。 我们可以 通过预处理转换为「分组 & 树形」背包问题：将
中的非
作为一组「主件」（分组背包部分：必须选择一个主件），所有数值作为「附属件」（树形背包部分：能选择若干个，选择附属件必须同时选择主件）。