【动态规划/背包问题】加餐一道「01 背包」变形题
【动态规划/背包问题】加餐一道「01 背包」变形题
前言
今天是我们讲解「动态规划专题」中的「背包问题」的第二十一篇。
今天将加餐/补充一道「01 背包」的题目。
另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。
背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。
你可以先尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~
题目描述
这是 LeetCode 上的「1049. 最后一块石头的重量 II」，难度为「中等」。
Tag : 「动态规划」、「背包问题」、「01 背包」、「数学」
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
- 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
示例 3：
输入：stones = [1,2]
输出：1
提示：
- 1 <= stones.length <= 30
- 1 <= stones[i] <= 100
基本分析
根据题意：可对任意石子进行操作，重放回的重量也不是操作石子的总和，而是操作石子的差值。
基于此，我们可以这样进行分析。
假设想要得到最优解，我们需要按照如下顺序操作石子：
。
其中
代表了石子编号，字母顺序不代表编号的大小关系。
如果不考虑「有放回」的操作的话，我们可以划分为两个石子堆（正号堆/负号堆）：
- 将每次操作中「重量较大」的石子放到「正号堆」，代表在这次操作中该石子重量在「最终运算结果」中应用
运算符
- 将每次操作中「重量较少/相等」的石子放到「负号堆」，代表在这次操作中该石子重量在「最终运算结果」中应用
运算符
这意味我们最终得到的结果，可以为原来
数组中的数字添加
符号，所形成的「计算表达式」所表示。
那有放回的石子重量如何考虑？
其实所谓的「有放回」操作，只是触发调整「某个原有石子」所在「哪个堆」中，并不会真正意义上的产生「新的石子重量」。
什么意思呢？
假设有起始石子
和
，且两者重量关系为
，那么首先会将
放入「正号堆」，将
放入「负号堆」。重放回操作可以看作产生一个新的重量为
的“虚拟石子”，将来这个“虚拟石子”也会参与某次合并操作，也会被添加
符号：
- 当对“虚拟石子”添加
符号，即可
，展开后为
，即起始石子
和
所在「石子堆」不变
- 当对“虚拟石子”添加
符号，即可
，展开后为
，即起始石子
和
所在「石子堆」交换
因此所谓不断「合并」&「重放」，本质只是在构造一个折叠的计算表达式，最终都能展开扁平化为非折叠的计算表达式。
综上，即使是包含「有放回」操作，最终的结果仍然可以使用「为原来
数组中的数字添加
符号，形成的“计算表达式”」所表示。
动态规划
有了上述分析后，问题转换为：为
中的每个数字添加
，使得形成的「计算表达式」结果绝对值最小。
与 494. 目标和 类似，需要考虑正负号两边时，其实只需要考虑一边就可以了，使用总和
减去决策出来的结果，就能得到另外一边的结果。
同时，由于想要「计算表达式」结果绝对值，因此我们需要将石子划分为差值最小的两个堆。
其实就是对「计算表达式」中带
的数值提取公因数
，进一步转换为两堆石子相减总和，绝对值最小。
这就将问题彻底切换为 01 背包问题：从
数组中选择，凑成总和不超过
的最大价值。
其中「成本」&「价值」均为数值本身。
整理一下：
定义
代表考虑前
个物品（数值），凑成总和不超过
的最大价值。
每个物品都有「选」和「不选」两种决策，转移方程为：
与完全背包不同，01 背包的几种空间优化是不存在时间复杂度上的优化，因此写成 朴素二维、滚动数组、一维优化 都可以。
建议直接上手写「一维空间优化」版本，是其他背包问题的基础。
代码：
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
int n = ss.length;
int sum = 0;
for (int i : ss) sum += i;
int t = sum / 2;
int[][] f = new int[n + 1][t + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x = ss[i - 1];
for (int j = 0; j <= t; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= x) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - x] + x);
}
}
return Math.abs(sum - f[n][t] - f[n][t]);
}
}
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
int n = ss.length;
int sum = 0;
for (int i : ss) sum += i;
int t = sum / 2;
int[][] f = new int[2][t + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x = ss[i - 1];
int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
for (int j = 0; j <= t; j++) {
f[a][j] = f[b][j];
if (j >= x) f[a][j] = Math.max(f[a][j], f[b][j - x] + x);
}
}
return Math.abs(sum - f[n&1][t] - f[n&1][t]);
}
}
class Solution {
public int lastStoneWeightII(int[] ss) {
int n = ss.length;
int sum = 0;
for (int i : ss) sum += i;
int t = sum / 2;
int[] f = new int[t + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x = ss[i - 1];
for (int j = t; j >= x; j--) {
f[j] = Math.max(f[j], f[j - x] + x);
}
}
return Math.abs(sum - f[t] - f[t]);
}
}
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背包问题（目录）
- 01背包 : 背包问题 第一讲
- 完全背包 : 背包问题 第四讲
- 多重背包 : 背包问题 第八讲
- 多重背包（优化篇）
- 混合背包 : 背包问题 第十一讲
- 分组背包 : 背包问题 第十二讲
- 【练习】分组背包 : 背包问题 第十三讲
- 多维背包
- 树形背包 : 背包问题 第十六讲
- 背包求方案数
[注：因为之前实在找不到题，这道「求方案数」题作为“特殊”的「多维费用背包问题求方案数」讲过]
- 背包求具体方案
- 【练习】背包求具体方案 : 背包问题 第二十讲
- 【练习】背包求具体方案
- 泛化背包
- 【练习】泛化背包