浅析希尔排序算法

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种，它是针对直接插入排序算法的改进。该方法又称缩小增量排序，因DL．Shell于1959年提出而得名。

一、算法描述

希尔排序的思想是采用插入排序的方法，先让数组中任意间隔为 gap 的元素有序，刚开始 gap 的大小可以是 gap = n / 2,接着让 gap = (n / 2) / 2，让 h 一直缩小，当 gap = 1 时，也就是此时数组中任意间隔为1的元素有序，此时的数组就是有序的了。

二、举个栗子

假定数组为 [ 95 23 40 6 98 13 66 33]

第一趟：例如第一次取间隔为 8 / 2 = 4，通常为总长度的一半，奇偶数都可以。如下图，将原始数组分为4组 [95 98], [23 13], [40 66], [6 33] 。

再对这4组的每一组进行插入排序，这样 13 这些的小数就被排在前面了。

第二趟：缩小间隔 4 / 2 = 2, 数组将被分为 2 组 [95 40 98 66], [13 6 23 33]。

然后对上面 2 组进行插入排序，如下图，此时整个数组的有序程度更近一些啦。

第三步，缩小间隔 2 / 2 = 1，数组将被分为 1 组 [40 6 66 13 95 23 98 33]

然后进行插入排序，不需要移动大量的元素就可以使得整个数组有序。

三、算法实现

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
  int n; cin >> n;
  int arr[n];
  for (int i=0; i<n; i++) cin >> arr[i];
  
  //希尔排序
  for (int gap= n/2; gap>0; gap = gap/2){
    //插入排序
    for (int i=gap; i<n; i++){
      int value = arr[i];
      int p = i;
      while(p>0 && arr[p-gap] > value){
        arr[p] = arr[p-gap];
        p = p - gap;
      }
      arr[p] = value;
    } 
  } 
  for (int i=0; i<n; i++) cout << arr[i] << ' ';
  return 0;
}

输出：

四、算法分析

时间复杂度：希尔排序的时间复杂度与增量(即，步长 gap )的选取有关。例如，当增量为 1 时，希尔排序退化成了直接插入排序，此时的时间复杂度为 O(N²)，而Hibbard增量的希尔排序的时间复杂度为 O(N3/2)。

空间复杂度：O(1)

稳定性：由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不稳定的。

五、适用场景

希尔排序是对直接插入排序的一种优化，可以用于大型的数组，希尔排序比插入排序和选择排序要快的多，并且数组越大，优势越大。