一次搞透，面试中的数1问题的五种方法！

面试中，除了TopK，是否被问过：求一个正整数的二进制表示包含多少个1？

画外音：姊妹篇《一次搞透，面试中的TopK问题！》。

例如：

uint32_t i=58585858;

i的二进制表示是：

0000 0011 0111 1101 1111 0011 0000 0010

于是，i的二进制表示包含15个1。

到底有几种方法，这些思路里蕴含的优化思路究竟是怎么样的，今天和大家聊一聊。

一、位移法。

思路：既然输入n是uint32，每次取n的最低位，判断是不是1，位移32次，循环判断即可。

伪代码：

do{

if ((n&1)==1){

result++;

}

n>>= 1;

i++;

} while(i<32);

分析：不管n的二进制表示里包含多少个1，都需要循环计算32次，比较耗时。有没有可能，每次消除掉一个1，这样来降低计算次数呢？

二、求与法。

观察一下n与n-1这两个数的二进制表示：

（1）最末位一个1会变成0；

（2）最末位一个1之后的0会全部变成1；

（3）其他位相同；

栗子：

x = 1011 0000

x-1= 1010 1111

x & (x-1) = 1010 0000

于是，n&(n-1)这个操作，可以起到“消除最后一个1”的功效。

思路：逐步通过n&(n-1)，来消除n末尾的1，消除了多少次，就有多少个1。

伪代码：

while(n){

result++;

n&=(n-1);

}

分析：这个方法，n的二进制表示有多少个1，就会计算多少次。总的来说，n的长度是32bit，如果n的值选取完全随机，平均期望由16个1构成，平均下来16次，节省一半的计算量。

三、查表法。

空间换时间，是算法优化中最常见的手段，如果有相对充裕的内存，可以有更快的算法。

思路：一个uint32的正整数n，一旦n的值确定，n的二进制表示中包含多少个1也就确定了，理论上无需重新计算：

1的二进制表示中包含1个1

2的二进制表示中包含1个1

3的二进制表示中包含2个1

…

58585858的二进制表示中包含15个1

...

提前计算好结果数组：

result[1]=1;

result[2]=1;

result[3]=2;

…

result[58585858]=15;

…

伪代码：

return result[n];

查表法的好处是，时间复杂度为O(1)，潜在的问题是，需要很大的内存。

内存分析：

假如被分析的整数是uint32，打表数组需要记录2^32个正整数的结果。

n的二进制表示最多包含32个1，存储结果的计数，使用5个bit即可。

故，共需要内存2^32 * 5bit = 2.5GB。

画外音：5个bit，能表示00000-11111这32个数。

四、二次查表法。

查表法，非常快，只查询一次，但消耗内存太大，在工程中几乎不被使用。

算法设计，本身是一个时间复杂度与空间复杂度的折衷，增加计算次数，往往能够减少存储空间。

思路：

（1）把uint32的正整数n，分解为低16位正整数n1，和高16正整数n2；

（2）n1查一次表，其二进制表示包含a个1；

（3）n2查一次表，其二进制表示包含b个1；

（4）则，n的二进制表示包含a+b个1；

伪代码：

uint16 n1 = n & 0xFFFF;

uint16 n2 = (n>>16) & 0xFFFF;

return result[n1]+result[n2];

问题来了：增加了一倍的计算量（1次查表变2次查表），内存空间是不是对应减少一半呢？

内存分析：

被分析的整数变成uint16，打表数组需要记录2^16个正整数的结果。

n1和n2的二进制表示最多包含16个1，存储结果的计数，使用4个bit即可。

故，共需要内存2^16 * 4bit = 32KB。

好神奇！！！

计算量多了1次，内存占用量却由2.5G降到了32K（1万多倍），是不是很有意思？

五、总结

数1，不难；但其思路有优化过程，并不简单：

（1）位移法，32次计算；

（2）n&(n-1)，能消除一个1，平均16次计算；

（3）查表法，1次查表，2.5G内存；

（4）二次查表法，2次查表，32K内存；

知其然，知其所以然。

思路比结论重要。

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