非线性可视化（5）非线性系统的分岔图

在前面 非线性可视化（3）混沌系统 这一篇文章中，介绍了一个系统因为某个常数的改变，从而导致整个系统发生变化的例子。比如Duffing系统，随着阻尼d的增大，系统由混沌变为倍周期，又变为周期运动。想要描述系统的某个参数变化，导致的系统本质的改变，就需要引入分岔图。

• 1 离散系统的分岔图

离散系统中的混沌现象非常普遍，通常经过简单的非线性方程，然后进行反复迭代就很容易出现。这种迭代产生的混沌十分简单，甚至不需要编程，随手用excel就可以展示其混沌现象：

离散系统的分岔图绘制方法，就是记录不同参数改变后，系统稳定点的位置。然后绘制出散点图，其中横坐标为参数，纵坐标为每个参数对应的稳定位置。

稳定位置常见计算方法有两种。举个例子来说明，一种是先分布100个不同的种子点，迭代999次，然后记录这100个点现在的位置。另一种是只有1个种子点，迭代999次，然后记录这个点999次里每一次的位置。

首先以一个一维离散系统为例，采用经典的Logistic系统，迭代方程如下：

方程的参数为a。对于每一个a，都先在[0,1]区间内生成若干xi，然后经过长时间迭代直至收敛后，记录下每一个xi的值。效果如下：

一维的分岔图非常的直观，因为变量只有1个。对于二维的分岔图，需要先将结果投影到一维上，然后再绘制。

下面举一个二维离散系统的例子，用的是Henon系统为例，迭代方程如下：

这里固定b=0.3，来改变a的值。这里由于是二维，采用第一种方法，每个维度都铺上初始点的话，计算量会比较大。所以采用第二种方法，用单个初始值，经过迭代后记录每一步过程。

上图为选取不同的a值，观察其x、y值随着迭代的变化。当a=0.2时，系统为能够收敛在一个固定的点上。当a=0.95，系统最终在4个不同点上来回跳动。当a=1.036，系统变为在8个点上来回跳动。当a=1.076，系统变为在几根线段上来回跳动。直到a=1.38，系统开始进入混沌。

我们可以只取y值，把这些点投影到1维。然后就可以仿照前面的一维分岔图，绘制出Henon系统的分岔图，完整代码见文末：

• 2 连续系统的分岔图

连续系统的分岔图做法需要参考离散系统分岔图的方法。首先将连续系统降维为离散系统，然后再降维为一维点分布，然后绘图。其中通常参考上面二维离散系统的散点分布图，利用连续系统的庞加莱截面来替代。这也是有些地方说庞加莱截面是沟通连续与离散的桥梁的直观体现。

因此，连续系统的分岔图绘制方法分为三步，首先计算出庞加莱截面，然后投影为一维的点分布，然后绘制到分岔图上。

这里以Rossler方程为例，依然固定a=0.1，b=0.1，然后改变c的值，做系统的分岔图如下，完整代码见文末。

一般庞加莱截面的位置选取会改变分岔图的样子，但是通常不会改变分岔点的位置。因为分岔点的位置是由系统本身所决定。

非线性可视化这个专题就先到此为止，还剩下两个非线性分析常用的方法没有介绍：功率谱法和拉雅普诺夫指数法。这两个都不属于可视化的范围内，所以这次没有写到，之后可能有机会再单独写一篇。其中功率谱法一般就是直接一个fft求出频率，然后把幅值平方，观察信号的频谱特性。李雅普诺夫指数法则是一种定量化分析系统分岔的方法，类似于分岔图，但是可以计算出一个数。李雅普诺夫指数反映开始相邻的两个点随着系统迭代后，两个点距离是变大还是缩小。

这个方向可能比较小众，很多地方需要事先建立模型方程。混沌这方面很多方法看似很成熟，但是都不太容易说出个所以然。希望能够帮到涉及到信号振动之类研究的，同时想分析非线性的同学们。

参考资料：

[1]https://blog.csdn.net/xiangger/article/details/113664682

[2]https://wenku.baidu.com/view/0bf3f494172ded630b1cb6b1.html

[3]Santo Banerjee. Applications of Chaos and Nonlinear Dynamics in Engineering[M]. Springer, 2011

[4]Ali.H.Nayfeh. Applied Nonlinear Dynamics Analytical, Computational, and Experimental Methods[M]. 1995.(用到了P284里面的Henon系统)

[5]计算物理基础-第10章第77讲（北京师范大学）（中国大学MOOC）计算物理基础_北京师范大学_中国大学MOOC(慕课) (icourse163.org)

[6]詹姆斯·格雷克. 混沌：开创新科学[M].