【科普向】纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行：从π的355/113近似说起

本文提供了python计算最接近π的分数的程序与说明，阅读仅需5min。

直接正文

提起中国古代的数学成就，都会想起南北朝时期的祖冲之。

提起祖冲之，大家最熟悉的就是他在计算圆周率π方面的杰出贡献，祖冲之在前人研究圆周率的基础上进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，即：

3.1415926＜π＜3.1415927

他还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。密率355/113传到了日本，日本人将它叫做“祖率”。

很多人知道用355/113表示π是一项了不起的贡献，但是，它的奇妙之处很少有人能够了解，或者说不全。

首先，它非常精确：

355/113=3.1415929204···

而

π=3.1415926535···

因此，两者之间的误差不足0.000000267···，即2.67e-07。

但是它足够精确吗，根据祖冲之得到的3.1415926＜π＜3.1415927，他可以得到一个更加精确的分数：

314159265/100000000=3.14159265

作为π的近似值，因为误差不超过0.00000005，即5e-08，比2.67e-07精确了一个数量级。

那祖冲之为什么不用314159265/100000000或者62831853/20000000来作为密率呢？

很明显，因为这个分母过大，且不容易记住。

355/113这个分数的分母足够小，且记起来非常简单，113355，从中间切开，一半放在分母，一半放在分子就行了。

我们知道，如果给定了一个数字作为分母，那么它一定会有一个最接近于π的分子，比如分母是7，那么以7为分母的一系列分数中，我们可以找到最接近于π的那一个。

因为π首先介于3和4之间，所以分子的大小范围控制在3*7和4*7之间，略微减少不必要的计算：

以下开始用python代码进行计算

首先，我们需要获取比较准确的π近似值，这里导入math函数：

import math
pi_val = math.pi
print(pi_val)

#output：3.141592653589793

第二步，给定任意的数字a，分子从3a增大到4a，获得分数，计算分数与π的差值，选取差值最小的那一个，就是以a为分母能够得到的最接近π的分数。

由于分子从3a增大到4a的过程中，在得到最接近π的分数之前，差值是逐渐变小的，而在得到最接近π的分数之后，差值是逐渐变大的，因此我们设定，当新获取的差值比之前最小的差值大的时候，循环停止（当然，如果你愿意，你甚至可以将设置范围为3.14a增大到3.15a之间的整数）：

def get_fraction_min_of_one_denominator(a):
   error_min=10
   i_min=0
   for i in range(3*a,4*a):
       fraction_val=i/a
       error=abs(fraction_val-pi_val)
       if error<error_min:
           error_min=error
           i_min=i
       if error>error_min:
           break
   fraction_min=str(i_min)+"/"+str(a)
   print("分母为"+str(a)+"最接近于π的分数为:"+fraction_min+"，误差为："+str(error_min))
   return error_min,fraction_min

测试一下：

这样我们就可以循环地找分母在某个数以内最接近于π的分数了：

def get_fractions_closest_to_pi(a):
   for i in range(1,a+1):
       error,fraction=get_fraction_min_of_one_denominator(i)
       if i==1:
           error_min=error
           fraction_min=fraction
       if error<error_min:
           print("在所有分母不超过"+str(i-1)+"的分数中，与π最接近的分数为："+fraction_min+"，误差为："+str(error_min))
           error_min=error
           fraction_min=fraction

   print("在所有分母不超过"+str(a)+"的分数中，与π最接近的分数为："+fraction_min+"，误差为："+str(error_min))

比如我们可以选取从1循环到100：

在所有分母不超过100的分数中，与π最接近的分数为：311/99，误差为：0.00017851217565167943

也就是说，如果祖冲之想用分母为两位数的分母表示π，最准确的分母是311/99，这个好像也不难记。

如果是1000以内呢？

哦豁，我们发现，分母在100以内时，随着分母的增大，很快就会有一个新的分数更加接近π，在113以内与π最接近的分数是355/113，然而分母从113开始增大，一直增大到1000，竟然就没有一个分数比355/113还要接近π。

我们再来测试一下4位数，10000以内：

哦豁，在分母不超10000以内，竟然还是没有任何一个分数比355/113更加接近π。

一直到分母为16604时，才出现了另一个比355/113更加接近π的分数：52163/16604

然而如果你仔细看，52163/16604比355/113并没有更加精确多少，误差数量级差不多都是2.66e-07，几乎没有明显的改善。

而如果你想记住52163/16604这个分数，恐怕还不如直接记住3.1415926呢。

如果时间允许，你还可以继续往后算算，分母为100万以内的最接近π的分数，不过，使用上面的代码可能需要较长的等待：

关注【学谦数据运营】，回复“圆周率”获取改进版高效计算代码。

结语

那么，祖冲之究竟是用什么办法把π算到小数点后第七位，又是怎样找到既精确又方便记忆的近似值355/113呢？估计是用python算的吧。这是至今仍困惑着数学家的一个谜。