最小二乘法公式

最小二乘法公式是一个数学的公式，在数学上称为，不仅仅包括还包括矩阵的最小二乘法。线性最小二乘法公式为a=y--b*x-。

矩阵的最小二乘法常用于测量数据处理的平差公式中，VTPV=min。

最小二乘法公式：

各项的推导过程

各项的推导过程

设拟合直线的公式为

,

其中：拟合直线的斜率为：

；计算出斜率后，根据

和已经确定的斜率k，利求出截距b。

推导过程

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0 + a1 X (式1-1)

其中：a0、a1 是任意

为建立这就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。

令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2)

把(式1-1)代入(式1-2)中得:

φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)

当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个等于零。

亦即

m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)

(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)

得到的两个关于a0、 a1为的两个方程组，解这两个方程组得出：

a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)

a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m] (式1-9)

这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元即：。

在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，“F”，剩余“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。

R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) *

在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。应用课题一 最小二乘法

从前面的学习中, 我们知道最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为本课题将介绍最小二乘法的精确定义及如何寻求 与 之间近似成时的经验公式. 假定实验测得变量之间的 个数据 , , …, , 则在 平面上, 可以得到 个点 , 这种图形称为“”, 从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁, 我们认为 与 之间近似为一线性函数, 下面介绍求解步骤.

考虑函数, 其中 和 是待定常数. 如果 在一直线上, 可以认为变量之间的关系为 . 但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记 , 它反映了用直线 来描述 , 时, 计算值 与实际值 产生的偏差. 当然要求偏差越小越好, 但由于 可正可负, 因此不能认为总偏差 时, 函数 就很好地反映了变量之间的关系, 因为此时每个偏差的绝对值可能很大. 为了改进这一缺陷, 就考虑用 来代替 . 但是由于绝对值不易作解析运算, 因此, 进一步用 来度量总偏差. 因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大. 于是问题归结为确定 中的常数 和 , 使 为最小. 用这种方法确定, 的方法称为最小二乘法.

由极值原理得 , 即

解此联立方程得

(*)

问题 I 为研究某一化学反应过程中, 温度 ℃对产品得率 (%)的影响, 测得数据如下:

温度( ℃)

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190

得率 (%)

45 51 54 61 66 70 74 78 85 89

(1) 利用“ListPlot”函数, 绘出数据 的(采用格式: ListPlot[{ , , …, }, Prolog->AbsolutePointSize[3] );

(2) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 注意观察有何特征? (采用格式: Show[Graphics][Line][{ , , …, }] , Axes->[True ]) ;

(3) 根据公式(*), 利用“Apply”函数及集合的有关运算编写一个小的程序, 求

(程序编写思路为: 任意给定两个集合A (此处表示温度)、B(此处表示得率), 由公式(*)可定义两个集合A和B为其变量)分别表示 和 . 集合A元素求和: Apply[Plus,A] 表示将加到集合A上, 即各元素相加, 例如Apply[Plus,{1,2,3}]=6;Length[A]表示集合A 元素的个数, 即为n; A.B表示两集合元素相乘相加;A*B表示集合A与B元素对应相乘得到的新的集合.

(4) 在同一张图中显示直线 及

(5) 估计温度为200时产

然而, 不少实际问题的观测数据 , , …, 的散点图明显地不能用叙, 但确实散落在某一曲线近旁, 这时可以根据散点图的轮廓和实际经验, 选一条曲线来近似表达 与 的相互关系.

问题 II 下表是美国旧轿车价格的调查资料, 今以 表示轿车的使用年数, (美元)表示相应的平均价格, 求 与 之间的关系.

案例分析

使用年数

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

平均价格

2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204

(1) 利用“ListPlot”函数绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征?

(2) 令 , 绘出数据 的散点图, 注意观察有何特征?

(3) 利用“Line”函数, 将散点连接起来, 说明有何特征?

(4) 利用最小二乘法, 求 与 之间的关系;

(5) 求 与 之间的关系;

(6) 在同一张图中显示散点图 及 关于 的图形.

思考与练习

1. 假设一组数据 : , , …, 变量之间近似成线性关系, 试利用集合的有关运算, 编写一简单程序: 对于任意给定的数据集合 , 通过求解极值原理所包含的方程组, 不需要给出 、 计算的表达式, 立即得到 、 的值, 并就本课题 I /(3)进行实验.

注: 利用Transpose函数可以得到数据A的第一个分量的集合, 命令格式为:

先求A的转置, 然后取第一行元素, 即为数据A的第一个分量集合, 例如

(A即为矩阵)

= (数据A的第一个分量集合)

= (数据A的第二个分量集合)

B-C表示集合B与C对应元素相减所得的集合, 如 = .

2. 最小二乘法在数学上称为曲线拟合, 请使用拟合函数“Fit”重新计算 与 的值, 并与先前的结果作一比较.