Flooding-X: 超参数无关的Flooding方法

ICML2020的论文《Do We Need Zero Training Loss After Achieving Zero Training Error?》提出了一种Flooding方法，用于缓解模型过拟合，详情可以看我的文章《我们真的需要把训练集的损失降到零吗？》。这里简单过一下，论文提出了一个超参数b ，并将损失函数改写为

其中，b 是预先设定的阈值，当\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})>b$``$\tilde{\mathcal{L}}(\boldsymbol{\theta})=\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}) ，这时就是执行普通的梯度下降；而\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})<b$``$\tilde{\mathcal{L}}(\boldsymbol{\theta})=2b-\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}) ，注意到损失函数变号了，所以这时候是梯度上升。因此，总的来说就是以b 为阈值，低于阈值时反而希望损失函数变大。论文把这个改动称为"Flooding"

这样做有什么效果呢？论文显示，在某些任务中，训练集的损失函数经过这样处理后，验证集的损失能出现 "二次下降（Double Descent）"，如下图

   左图：不加Flooding的训练示意图；右图：加了Flooding的训练示意图       

我们可以假设梯度先下降一步后上升一步，学习率为\varepsilon ，通过泰勒展开可以得到

其中，\boldsymbol{\theta}_{n} 表示第n 次迭代的参数，g(\boldsymbol{\theta}_{n-1})=\nabla_{\boldsymbol{\theta}}\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}_{n-1}) 表示损失对参数\boldsymbol{\theta}_{n-1} 的梯度。式(2)的结果相当于以\frac{\varepsilon^2}{2} 为学习率、损失函数为梯度惩罚|g(\boldsymbol{\theta})||^2=||\nabla_{\boldsymbol{\theta}}\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})||^2 的梯度下降

详细的推导过程见《我们真的需要把训练集的损失降到零吗？》

Achilles' Heel of Flooding

Flooding的阿喀琉斯之踵在于超参数b ，我们需要花非常多的时间寻找最佳的阈值b ，这并不是一件容易的事

Achilles' Heel（阿喀琉斯之踵）阿喀琉斯是古希腊神话故事中的英雄人物，刀枪不入，唯一的弱点是脚后跟（踵）。后用于来比喻某东西的致命缺陷

下图展示了使用BERT在SST-2数据集上不同的阈值b 对结果的影响（黄色区域是最佳结果）。可以看出，b 的设置对结果的影响非常大

Gradient Accordance

ACL2022的投稿有一篇名为《Flooding-X: Improving BERT’s Resistance to Adversarial Attacks via Loss-Restricted Fine-Tuning》的文章，以"梯度一致性"作为开启Flooding的"阀门"，而不再采用超参数\boldsymbol{\theta} 的模型f ，考虑一个样本x 以及真实标签y ，它们的损失为\mathcal{L}(f(\boldsymbol{\theta}, x), y) ，损失关于参数的梯度为

其中，式(3)的负值就是参数\boldsymbol{\theta} 更新的方向。现在我们考虑两个样本(x_1,y_1), (x_2,y_2) 的情况，根据上述定义，样本1的梯度为

对于样本1来说，参数更新所导致的损失变化为$$ \begin{aligned} \Delta \mathcal{L}_1 = &\mathcal{L}(f(\boldsymbol{\theta} - \varepsilon \boldsymbol{g_1}, x_1), y_1)\\ &- \mathcal{L}(f(\boldsymbol{\theta}, x_1), y_1) \end{aligned}\tag{5} $$

将f(\boldsymbol{\theta}, x_1) 通过泰勒展开变形得

我们将\varepsilon \boldsymbol{g_1}\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\theta}} 记作T(x_1) ，并对\mathcal{L}(f(\boldsymbol{\theta}, x_1), y_1) 做类似的泰勒展开得

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}(&f(\boldsymbol{\theta}, x_1), y_1)\\ &= \mathcal{L}(f(\boldsymbol{\theta} - \varepsilon \boldsymbol{g_1}, x_1) + T(x_1), y_1)\\ &\approx \mathcal{L}(f(\boldsymbol{\theta} - \varepsilon \boldsymbol{g_1}, x_1), y_1)\\ &+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f}T(x_1) \end{aligned}\tag{7} $$

根据式(6)可以推出第一个等号，约等于是从泰勒展开推导的，具体来说

将式(7)带入式(5)得$$ \begin{aligned} \Delta \mathcal{L}_1 &\approx -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f}T(x_1)\\ &=-\varepsilon \boldsymbol{g_1}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\theta}}\\ &=-\varepsilon \boldsymbol{g_1} \cdot \boldsymbol{g_1} \end{aligned}\tag{8} $$

类似的，参数根据样本(x_1,y_1) 更新后，在样本(x_2, y_2) 上的损失差为\Delta \mathcal{L}_2 = -\varepsilon \boldsymbol{g_1}\cdot \boldsymbol{g_2}

值得注意的是，根据定义，\Delta \mathcal{L}_1 是负的，因为模型是对于(x_1,y_1) 更新的，自然就会导致其损失的降低。如果\Delta \mathcal{L_2} 也是负的，那么在(x_1, y_1) 上更新的模型被认为对(x_2, y_2) 有积极的影响。上面的等式表明，这种共同关系相当于两个样本的梯度\boldsymbol{g_1},\boldsymbol{g_2} 之间的乘积，我们称其为梯度一致性（Gradient Accordance）

Coarse-Grained Gradient Accordance

上面提到的可以看作是样本级别的梯度一致性，由于其粒度太细，计算起来非常复杂，因此我们将其应用到batch级别的粗粒度上进行计算

考虑训练过程中包含n 个样本的mini-batch B_0 ，其中样本\boldsymbol{X} = \{x_1, x_2,...,x_n\} ，标签\boldsymbol{y}=\{y_1, y_2,...,y_n\} ，其中y_i\in \{c_1, c_2,...,c_k\} ，即有k 个类别。这些样本可以根据它们的标签拆分成k 组（每组内的样本标签是一样的）

由此可以将B_0 拆分成多个子batch的并集，B_0 = B_0^1\cup B_0^2\cup \cdots B_0^k 。我们定义两个子batch B_0^1 和B_0^2 的类一致性分数为

其中，\boldsymbol{g}_1 是模型在样本集B_0^1 上的损失对参数的梯度，\cos(\boldsymbol{g_1}, \boldsymbol{g_2})=(\boldsymbol{g_1}/|\boldsymbol{g_1}|)\cdot (\boldsymbol{g_2}/|\boldsymbol{g_2}|)

类一致性可以用于判断：对类别c_1 的样本集B_0^1 进行梯度下降是否也会减少类别c_2 所对应的样本集B_0^2 的损失

假设一个Epoch中有N 个batch，那么B_s 与B_t 的批一致性分数定义如下：

$$ \begin{aligned} S_{\text{batch accd}}&(B_s, B_t)\\ &=\frac{1}{k(k-1)}\sum_{j=1}^k\sum_{i=1 \atop i \neq j}^k C(B_s^i, B_t^j) \end{aligned}\tag{10} $$

批一致性可以通过评估一个批次的参数更新对另一个批次的影响，量化两个批次的学习一致性。更具体地说，S_{\text{batch accd}} 如果是正的，表示这两个批次处于相同的学习节奏下，每个批次更新的模型对它们都有好处

任意一个Epoch的梯度一致性最终定义为

$$ \begin{aligned} &S_{\text{epoch accd}} \\ &= \frac{1}{N(N-1)}\sum_{j=i+1}^N \sum_{i=1}^{N-1} S_{\text{batch accd}}(B_s, B_t) \end{aligned}\tag{11} $$

Analysis and Discussion

实验结果这里就不放了，简单说一下就是作者使用了TextFooler、BERT-Attack、TextBugger三种攻击手段，以PGD、FreeLB、TAVAT等方法为Baseline进行对比，结果表明使用Flooding-X效果很好

从下图可以看出，当梯度一致性指标从负数变为正数时，测试集损失也开始上升，说明梯度一致性这个指标可以很好的当作是过拟合的信号

个人总结

2020年提出的Flooding本身就是一个非常有意思的Trick，可惜原论文作者也苦于超参数b 的选择，因此其应用不算广泛。ACL2022这篇论文提出了梯度一致性的概念，让模型自己感知什么时候该进行Flooding，避免了超参数的选择问题

References

• 我们真的需要把训练集的损失降到零吗？
• Flooding-X: Improving BERT’s Resistance to Adversarial Attacks via Loss-Restricted Fine-Tuning