B样条曲线广泛应用于车辆以及航空航天等工业领域,例如:自动驾驶汽车路径规划时为了使得汽车运行平稳,需要使得运行路径的二阶导数连续(目前,AGV小车主要是通过直线和圆弧进行路径规划,由于两个阶段加速度不一致,因此在进行直线与圆弧转换过程中存在抖动问题),经常需要用到B样条曲线;其次,B样条曲线广泛应用于飞行器表面的描述。曲线的平滑处理包含近似拟合(曲线不经过点)以及插值拟合(曲线经过点)两种,在此进行简要分析。
一、近似拟合:当已知控制顶点坐标di、曲线的次数k以及基函数Ni,k(u),就可以确定B样条曲线的形状为:
注释:在已知控制点的坐标后,采用B样条曲线近似拟合曲线的重点是对基函数的递推,采用程序可以简单地都对这个问题进行处理。B样条曲线基函数的特点,如果节点的个数为m+1,P次基函数的个数为n+1,且基函数的次数为P,则m=n+p+1。
二、插值拟合(反求控制点坐标)主要的步骤为,根据曲线上相邻点的坐标,得到控制点的坐标,然后依据前边近似拟合的方法,得到3次B样条曲线。主要的思想为:假设曲线经过n+1个数据点,它们的坐标分别为Pi(x,y),根据数据点把曲线分成n段(每一段包含两个数据点),由于三次样条曲线需要四个点确定,因此,插值的主要思想是依据临近数据点坐标,得到控制点插值坐标。
3次B样条曲线在接头处的要求不同,得到控制点的过程也不一样,当接头处仅仅是需要曲线的一阶导数连续时,控制点可以很容易的得到:
其中,a,b是两个可以任意给定的系数。