B样条曲线

B样条曲线广泛应用于车辆以及航空航天等工业领域，例如：自动驾驶汽车路径规划时为了使得汽车运行平稳，需要使得运行路径的二阶导数连续（目前，AGV小车主要是通过直线和圆弧进行路径规划，由于两个阶段加速度不一致，因此在进行直线与圆弧转换过程中存在抖动问题），经常需要用到B样条曲线；其次，B样条曲线广泛应用于飞行器表面的描述。曲线的平滑处理包含近似拟合（曲线不经过点）以及插值拟合（曲线经过点）两种，在此进行简要分析。

一、近似拟合：当已知控制顶点坐标di、曲线的次数k以及基函数Ni,k(u)，就可以确定B样条曲线的形状为：

注释：在已知控制点的坐标后，采用B样条曲线近似拟合曲线的重点是对基函数的递推，采用程序可以简单地都对这个问题进行处理。B样条曲线基函数的特点，如果节点的个数为m+1，P次基函数的个数为n+1，且基函数的次数为P，则m=n+p+1。

二、插值拟合（反求控制点坐标）主要的步骤为，根据曲线上相邻点的坐标，得到控制点的坐标，然后依据前边近似拟合的方法，得到3次B样条曲线。主要的思想为：假设曲线经过n+1个数据点，它们的坐标分别为Pi（x，y），根据数据点把曲线分成n段（每一段包含两个数据点），由于三次样条曲线需要四个点确定，因此，插值的主要思想是依据临近数据点坐标，得到控制点插值坐标。

3次B样条曲线在接头处的要求不同，得到控制点的过程也不一样，当接头处仅仅是需要曲线的一阶导数连续时，控制点可以很容易的得到：

其中，a，b是两个可以任意给定的系数。