模型中AIC和BIC以及loglikelihood的关系

「在进行建模时，经常要对模型进行评价：」

• 这个模型好不好？
• 这几个模型哪个好？
• 这两个模型是否达到显著性差异？

我们常用的参数有「AIC」，「BIC」，「loglikelihood」，本篇介绍一下这几个参数的含义，以及是如何计算的，下面我们一起来看一下吧。

1. AIC的解释

赤池信息准则（Akaike Information Criterion，AIC）

AIC是衡量统计模型拟合优良性的一种标准，由日本统计学家赤池弘次在1974年提出，它建立在熵的概念上，提供了权衡估计模型复杂度和拟合数据优良性的标准。

通常情况下，AIC计算公式为：AIC = -2*ln(L) + 2*k

• k是模型参数个数，
• L是似然函数

从一组可供选择的模型中选择最佳模型时，通常选择AIC最小的模型。

当两个模型之间存在较大差异时，差异主要体现在似然函数项，当似然函数差异不显著时，上式第一项，即模型复杂度则起作用，从而参数个数少的模型是较好的选择。

一般而言，当模型复杂度提高（k增大）时，似然函数L也会增大，从而使AIC变小，但是k过大时，似然函数增速减缓，导致AIC增大，模型过于复杂容易造成过拟合现象。

目标是选取AIC最小的模型，AIC不仅要提高模型拟合度（极大似然），而且引入了惩罚项，使模型参数尽可能少，有助于降低过拟合的可能性。

2. BIC的解释

贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）

BIC（Bayesian InformationCriterion）贝叶斯信息准则与AIC相似，用于模型选择，1978年由Schwarz提出。训练模型时，增加参数数量，也就是增加模型复杂度，会增大似然函数，但是也会导致过拟合现象，针对该问题，AIC和BIC均引入了与模型参数个数相关的惩罚项，BIC的惩罚项比AIC的大，考虑了样本数量，样本数量过多时，可有效防止模型精度过高造成的模型复杂度过高。

• k为模型参数个数
• n为样本数量
• L是似然函数

k*ln(n)惩罚项在维数过大且训练样本数据相对较少的情况下，可以有效避免出现维度灾难现象。

3. AIC和BIC的比较

AIC和BIC的公式中前半部分是一样的，

后半部分是惩罚项，当n ≥ 10^2 的时候，即kln(n) ≥ 2k，这时候BIC的惩罚性得分更多（分数越大，模型越差），所以，BIC相比AIC在大数据量时对模型参数惩罚得更多，导致BIC更倾向于选择参数少的简单模型。

4. 实例演示

「ASReml-R 文档中的计算方法：」

这里：

• Ri为似然函数的loglikelihood
• ti为参数个数
• v为残差的自由度

用两个模型：

• 模型1：动物模型，固定因子是SEX和BYEAR，随机因子是加性模型
• 模型2：动物模型，固定因子是SEX和BYEAR，随机因子是加性效应和母体环境效应

m1 = asreml(BWT ~ SEX + BYEAR, random = ~ vm(ANIMAL,ainv), residual = ~ idv(units),data = dat)
summary(m1)$varcomp

# m2 单性状动物模型 + 母体效应
m2 = asreml(BWT ~ SEX + BYEAR, random = ~ vm(ANIMAL,ainv) + MOTHER , residual = ~ idv(units),data = dat)
summary(m2)$varcomp

4.1 模型1的AIC和BIC

这里，m1的loglik为-1093.197，这个值是AIC和BIC公式的ln(L)：

所以，这里的参数个数是2，所以手动计算AIC的公式为：

结果可以看出，手动计算的AIC和函数计算的AIC，结果一致。

手动计算BIC的公式：

这里的n是模型残差的自由度。

可以看到，手动计算的BIC和手动计算的BIC结果一致。

4.2 模型2的AIC和BIC

「代码：」

m2$loglik
-2*m2$loglik+ 2*3
summary(m2)$aic

-2*m2$loglik+ 3*log(m2$nedf)
summary(m2)$bic

注意，这里的参数是3，而不是2.

「AIC的结果：完全一致」

「BIC的结果：完全一致」

4.3 模型1和模型2比较

「loglikelihood比较」这里的比较，是比较loglikelihood的绝对值，绝对值越小，说明模型拟合越好。当然，这是单纯的比较似然函数，没有考虑参数的影响。

可以看到，模型2优于模型1.

m1$loglik
m2$loglik

「AIC比较」这里，AIC值越小，说明模型拟合越好。

这里模型2优于模型1.

summary(m1)$aic
summary(m2)$aic

「BIC结果比较」这里，BIC值越小，说明模型拟合越好。

结果可以看出，模型2优于模型1.

summary(m1)$bic
summary(m2)$bic

5. LRT似然比检验

似然比检验用来评估两个模型中哪个模型更适合当前数据分析。

具体来说，一个相对复杂的模型与一个简单模型比较，来检验它是不是能够显著地适合一个特定的数据集。

「ASReml中的LRT描述：」

「LRT检验的前提」

• 两个模型的固定因子一致
• 两个模型随机因子属于nested关系（包含关系，分级巢式模型）

LRT应用的一个前提条件是这些待比较的模型应该是分级的巢式模型。具体来讲，是说相对于简单模型，复杂模型仅仅是多了一个或者多个附加参数。增加模型参数必定会导致高似然值成绩。因此根据似然值的高低来判断模型的适合度是不准确的。LRT提供了一个客观的标准来选择合适的模型。

LRT检验的公式:

其中L1为复杂模型最大似然值，L2为简单标准模型最大似然值LR近似的符合卡方分布。为了检验两个模型似然值的差异是否显著，我们必须要考虑自由度。LRT 检验中，自由度等于在复杂模型中增加的模型参数的数目。这样根据卡方分布临界值表，我们就可以判断模型差异是否显著。

「手动计算公式：」

可以看到，两模型之间的差异达到极显著，所以模型2显著优于模型1.

1-pchisq(-2*(m1$loglik-m2$loglik),1)

「公式计算：」

lrt.asreml(m1,m2,boundary = F)

手动计算和公式计算，两者结果是一致的。