卡迈克尔函数

hotarugali

发布于 2022-03-01 09:12:50

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发布于 2022-03-01 09:12:50

1. 定义

卡迈克尔函数定义为：当 nnn 为 1、2、4、奇质数的次幂、奇质数的次幂的两倍时为欧拉函数，当 nnn 为 2、4 以外的 2 的次幂时为欧拉函数的一半。

\begin{array}{c} \lambda(n) = \left\{ \begin{aligned} \phi(n) \,\, & \,\, n = 1,2,3,4,5,6,7,9,10,\cdots \\ {1 \over 2}\phi(n) \,\, & \,\, n = 8,16,32,64,128,256,\cdots \end{aligned} \right. \end{array}

2. 性质

对于任意整数 n，由算数基本定理（整数唯一分解定理）：

，则卡迈克尔函数满足：

\begin{array}{c} \lambda(n) = lcm[\lambda(p_1^{a_1}),\lambda(p_2^{a_2}),\cdots,\lambda(p_w^{a_w})] \end{array}

证明：根据欧拉函数性质，有\phi(p^k) = p^{k-1}(p-1)，（ p 为质数）

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