BSGS算法

1. 简介

BSGS 算法也称为大小步算法，主要用来解决

\begin{array}{c} A^x \equiv B \mod{p} \end{array}

的问题，其中 p 为质数。

2. 算法

令 x = i \cdot m -j，其中 m = \lceil \sqrt{p} \,\rceil。此时原式等价于

\begin{array}{c} A^{i \cdot m - j} \equiv B \mod{p} \\ \Rightarrow A^{i \cdot m} \equiv A^{j} \cdot B \mod{p} \end{array}

然后枚举 j \in [0,m]，将A^{j} \cdot B 存入哈希表；再枚举 i \in [1,m]，从哈希表中寻找第一个满足 pA^{i \cdot m} \equiv A^{j} \cdot B \mod{p}的 i，则此时

\begin{array}{c} x = i \cdot m -j \end{array}

即为所求解。该算法复杂度为 O(\sqrt{p} \,)。