柯西主值积分

1. 简介

柯西主值积分是以特殊方式定义的反常积分，其值又称为柯西主值。

2. 定义

2.1 第一类反常积分（无穷积分）

• 设函数f(x)在 (-\infty,+\infty)上连续且可积，则定义第一类反常积分：

\begin{array}{c} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{u \rightarrow -\infty} \int_u^c f(x)dx + \lim_{v \rightarrow +\infty} \int_c^v f(x) dx \end{array}

其中，ccc 是区间上任意一点。

上式右边式子中两个极限皆收敛，则左式的反常积分才收敛；上式右边式子任意其一发散，则左式的反常积分发散。

• 定义第一类反常积分的柯西主值：

\begin{array}{c} \mathrm{PV} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{-R}^R f(x) dx \end{array}

【注】由定义易知，若无穷积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等；若无穷积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。举例如下：

\begin{array}{c} \mathrm{PV}\int_{-\infty}^{+\infty} x dx = \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{-R}^R x dx = 0 \end{array}

但实际上该积分并不收敛

2.2 第二类反常积分（瑕积分）

• 设函数 f(x) 在 (a,b) 上连续可积，但在点 a 及 b 不连续，则定义第二类反常积分：

\begin{array}{c} \int_a^b f(x) dx = \lim_{u \rightarrow a+} \int_u^c f(x) dx + \lim_{v \rightarrow b^-} \int_c^v f(x) dx \end{array}

其中，c 是区间上任意一点。

• 设函数 f(x)在 [a,c)和 (c,b]上连续且可积，但在点 c 不连续，则定义第二类反常积分：

\begin{array}{c} \int_a^b g(x) dx = \lim_{u \rightarrow c^-} \int_a^u g(x) dx + \lim_{v \rightarrow c+} \int_v^b g(x) dx \end{array}

类似的，对于第二类反常积分，只有右式两个极限皆收敛，左式的反常积分才定义为收敛；若右式其一发散，则左式的反常积分发散。

• 对于以上两种情况下的第二类反常积分，分别定义第二类反常积分的柯西主值：

\begin{array}{c} \mathrm{PV}\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x) dx \\ \mathrm{PV}\int_a^b g(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \Big(\int_a^{c-\varepsilon} g(x) dx + \int_{c+\varepsilon}^b g(x) dx \Big) \end{array}

【注】由定义易知，若瑕积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等；若瑕积分的柯西主值收敛，则该积分未必收敛。

2.3 混合反常积分

• 设函数 f(x)在 (-\infty,c)及 (c,+\infty)上连续且可积，但在点 c 不连续，则定义其反常积分的柯西主值：