用数学定义：层次、对称、模型、动作、相似、上下文

介绍一本书：

http://mitpress.mit.edu/books/category-theory-sciences

这本书会介绍相关概念（层次、对称、模型、动作、相似、上下文）的数学定义：

It is my hope that this book will offer scientists a new vocabulary in which to think and communicate, and a new pipeline to the vast array of theorems that exist and are considered immensely powerful within mathematics.

These theorems have not made their way into the world of science, but they are directly applicable there. Hierarchies are partial orders, symmetries are group elements, data models are categories, agent actions are monoid actions, local-to-global principles are sheaves, self-similarity is modeled by operads, context can be modeled by monads. All of these will be discussed in the book.

节选：

1.1 畴论历史：

爱因斯坦相对论带来的范式转变使人们普遍认识到,没有单一的视角来看待世界。没有我们需要寻找的背景框架;有无限多不同的框架和视角,真正的力量在于能够在它们之间转换。范畴理论就是在这样的历史背景下开始的范畴理论是 20 世纪 40 年代初由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克兰恩发明的。它被特别设计来连接两个看起来完全不同的领域:拓扑学和代数。拓扑学是对抽象形状的研究,如 7 维球体;代数是对抽象方程如 y2z x3 的研究xz2。人们已经在这些领域之间建立了重要而有用的联系(如上同调理论),但艾伦伯和麦克莱恩需要精确地比较不同的联系。要做到这一点,他们首先需要归结和提取这两个领域的基本性质。但在这样做的过程中,他们提出的想法构成了一个框架,不仅适用于拓扑和代数,也适用于许多其他数学学科。起初,范畴理论只不过是对现存的困难数学思想的一种深刻澄清的语言。然而,在 1957 年,亚历山大·格罗滕迪克利用范畴理论建立了新的数学机器(新的上同调理论),对代数方程的行为给予了前所未有的洞察力。从那时起, 分类就被建立起来,专门用来放大数学学科的特定特征用其他地方无法达到的敏锐度来研究它们。

比尔·劳维尔认为范畴理论是所有数学思想的新基础。数学家们在十九世纪一直在寻找基础,并且对集合论作为基础相当满意。但是劳维尔证明了集合的范畴只是一个具有某些好性质的范畴,不一定是数学世界的中心。他解释了整个代数理论如何被视为一个单一系统的例子。他和其他人继续表明,在范畴理论(更具体地说是拓扑)的背景下,高阶逻辑被完美地捕捉到了。也正是在这里,格罗滕迪克和他的学校得出了代数几何的主要结果。

1980 年,约阿希姆·兰贝克表明,计算机科学中使用的类型和程序形成了一种特定的类别。这为谈论程序提供了一种新的语义,允许人们研究程序如何组合和组合来创建其他程序,而不用考虑实现的细节。尤金尼奥·莫吉将单子的范畴理论概念引入计算机科学,以概括当时被认为不属于这种理论范畴的思想。

很难解释像丹尼尔·坎和安德烈·乔亚尔这样的人给范畴理论带来的清晰和美丽。他们每个人都反复提取了整个数学学科的精髓,揭示并形式化了一种极其简单却极其强大的思维模式,彻底改变了数学的运作方式。

然而,一直以来,范畴理论都被数学界的许多人视为抽象得可笑。但是在二十一世纪,它终于在更大的纯数学社区中找到了健康的尊重。它是研究生阶段代数和拓扑课程的首选语言,在我看来,它将继续成为思考和表达数学思想的基本框架。

如上所述,范畴理论也扩展到某些科学领域。贝兹和多兰[6]已经展示了它在理解量子物理方面的价值,它在计算机科学中已经得到很好的确立,并且在其他几个领域也找到了支持者。但在我看来,我们正处于探索科学方法论的最开始。范畴理论是作为桥梁而发明的,它将继续发挥这一作用。