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3.3.2 标准库的数学模块

Python 的发明者吉多·范罗苏姆说：Python 有“自带电池”的理念，从它的庞大软件包复杂而又可靠的能力中可见端倪（英文：Python has a "batteries included" philosophy. This is best seen through the sophisticated and robust capabilities of its larger packages.参阅：https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_library）。所谓“自带电池”就是指 Python 标准库（Python Standard Library，官方文档地址是 https://docs.python.org/3/library/index.html），标准库的有关程序在安装本地 Python 开发环境时已经随之安装好，与内置函数类似，也能“开箱即用”。

Python 标准库非常庞大，此处仅介绍与初等数学计算相关的模块（更多内容，参阅第11章11.3节）。

1. math 模块

标准库中的 math 模块主要提供初等数学中常用函数，官方文档地址是 https://docs.python.org/3/library/math.html。请在本地交互模式中，输入 import math ，然后敲回车键，如下所示：

>>> import math    # (1)
>>>

输入注释（1）并敲回车键后，光标停在了下一行，且没有任何返回内容——关键是没有报错，这说明本地已经正确安装了 math 模块。注释（1）的作用是将标准库中的 math 模块引入到当前环境——标准库不是内置函数，其模块都必须用关键词 import 引入之后才能使用（参阅第11章11.1节）。

接着注释（1），继续执行如下操作：

>>> dir(math)
['__doc__', '__file__', '__loader__', '__name__', '__package__', '__spec__', 'acos', 'acosh', 'asin', 'asinh', 'atan', 'atan2', 'atanh', 'ceil', 'comb', 'copysign', 'cos', 'cosh', 'degrees', 'dist', 'e', 'erf', 'erfc', 'exp', 'expm1', 'fabs', 'factorial', 'floor', 'fmod', 'frexp', 'fsum', 'gamma', 'gcd', 'hypot', 'inf', 'isclose', 'isfinite', 'isinf', 'isnan', 'isqrt', 'lcm', 'ldexp', 'lgamma', 'log', 'log10', 'log1p', 'log2', 'modf', 'nan', 'nextafter', 'perm', 'pi', 'pow', 'prod', 'radians', 'remainder', 'sin', 'sinh', 'sqrt', 'tan', 'tanh', 'tau', 'trunc', 'ulp']

这里使用了内置函数 dir() ，它能够返回参数对象的属性和方法——在第2章2.4节初步接触了对象的“属性”和“方法”，更详细的内容请参阅第8章。对于 dir(math) 的返回结果，也可以理解为模块 math 里面提供的函数。不妨浏览一番这些函数名称，并与记忆中的初等数学常用函数对比，是不是觉得这里已经基本涵盖了常用的函数呢？

这些函数怎么用？以余弦函数 cos 为例，根据自学经验，应该先看一看这个函数的文档：

>>> help(math.cos)

注意上述写法，不能直接写 help(cos) ，因为函数 cos 是模块 math 的一员，注释（1）引入的是这个模块，当调用其中的函数时，必须借助模块的名称（可用图3-3-4所示帮助记忆和理解。这是调用模块内函数的一种方式，更多内容参阅第11章11.1节）。

图3-3-4 调用模块里的函数

执行上述语句，可以看到 math.cos 的帮助文档：

cos(x, /)
    Return the cosine of x (measured in radians).

>>> alpha = 60 / 180 * math.pi    # (2)
>>> math.cos(alpha)               # (3)
0.5000000000000001

>>> math.pi
3.141592653589793

>>> round(math.cos(math.pi/4) + math.log10(5) * math.exp(2), 2)
5.87

2. fractions 模块

在前面的代码演示中，注释（2）只能将分数计算为浮点数实现近似计算，如何才能实现精确地表示

呢？这就是标准库中的 fractions 模块所要解决的问题。

>>> import fractions                  # (4)
>>> a = fractions.Fraction(60, 180)   # (5)
>>> a
Fraction(1, 3)

注释（4）引入模块 fractions ，注释（5）使用 fractions.Fraction() 创建分数——注意大小写，其参数中的第一个 60 是分数的分子，第二个 180 是分数的分母，即

。返回值是 Fraction(1, 3) ，表示分数

。由此可见，注释（5）创建分数的时候，会自动化简，以最简分数作为结果。

>>> 1 / 3 + 1 / 2
0.8333333333333333

这是用浮点数形式计算

的结果，现在可以这样做：

>>> b = fractions.Fraction(1, 2)
>>> a + b
Fraction(5, 6)

如此就实现了分数的精确计算。

除了用注释（5）创建分数之外，还有其他的创建方式，此处不再赘述，请读者自行参考官方文档（https://docs.python.org/3/library/fractions.html）中的示例。下面要对注释（2）和（3）重新计算，用分数得到精确结果。

>>> alpha = fractions.Fraction('60/180') * math.pi            # (6)
>>> fractions.Fraction(math.cos(alpha)).limit_denominator()   # (7)
Fraction(1, 2)

先看结果，得到了

的精确结果

。不过，注释（6）中使用了另外一种创建分数的方法——参数形式与（5）不同（建议读者参阅官方文档示例）。注释（7）比较长，可以分为两部分，第一部分是 fractions.Fraction(math.cos(alpha)) ，这其实是第三种创建分数的方法——参数是浮点数。

>>> fractions.Fraction(0.5)
Fraction(1, 2)

如注释（3）所示，math.cos(alpha)的值是一个浮点数，再以它为参数，创建分数：

>>> fractions.Fraction(math.cos(alpha))    # (8)
Fraction(4503599627370497, 9007199254740992)

注意，math.cos(alpha) 的浮点数结果并非严格等于 0.5（如注释（3）的返回值所示），因此在注释（8）中看到所得分数只能很接近于 Fraction(1, 2) 。为此，注释（7）调用了该对象的方法 limit_denominator() ，它的作用是返回最近似的分数——需要注意此方法的默认参数 max_denominator=1000000 ，最近似的分数是以此分母计算，例如：

>>> fractions.Fraction('3.1415926535897932').limit_denominator(1000)
Fraction(355, 113)
>>> fractions.Fraction('3.1415926535897932').limit_denominator(100)
Fraction(311, 99)
>>> fractions.Fraction('3.1415926535897932').limit_denominator(10)
Fraction(22, 7)

当然，此处所创建的分数，也可以和浮点数、整数进行算术运算，或者作为函数的参数。

>>> a
Fraction(1, 3)
>>> a + 2
Fraction(7, 3)
>>> a + 0.5
0.8333333333333333
>>> a ** 2
Fraction(1, 9)
>>> pow(a, 3)
Fraction(1, 27)
>>> math.sin(a)
0.3271946967961522

问题来了，既然用分数对象能够精确计算，还要浮点数有什么用？有用！在 Python 中，运算 float 类型的对象要比运算 fractions.Fraction 类型的对象速度快，并且在一般情况下，浮点数运算的精度已经足够了。如果不是“一般情况”呢？就“鱼和熊掌不可兼得”，只能忍受“速度慢”了吗？也不是。Python 是一个开放的生态系统，除了标准库之外，还有更庞大的“第三方库”（参阅第11章），其中就有解决此问题的模块，比如 quicktions —— “日光之下，并无新事”，倘若真的找不到满足需要的工具，那就是创新的机遇，一定要抓住。

针对本节内容，建议读者自己设计一些计算题进行练习——可以帮助中小学生解题。

这里暂介绍标准库中与数学计算有关的两个模块，在后续学习中还会遇到其他模块，第11章就此有专门介绍。

★自学建议 本节的学习中，使用了“帮助文档”和“官方文档”，这些文档是关于编程语言的最权威资料。但是，如何使用这些文档，是一个需要探讨的问题。以下是我的个人经验，供读者参考：

• 将文档当做《新华字典》那样的工具，有问题时去查询。一般地，语文学科的主要学习资料是课本，字典是必不可少的辅助学习的工具。但很少有人用《新华字典》来学习语文。有人号称“看文档就能掌握编程语言”，他一定是聪明人。
• 如果文档的原初语言是英文，尽可能看英文的文档（虽然有的文档翻译为中文了，但有的翻译并没有体现本意）。在第1章1.6节的【自学建议】中已经就本书引用英文文档的问题给予了解释说明，这里再次强调，旨在避免读者误解。凡是有志于自学，并以成为某领域翘楚为目标者，均不会畏惧各类文档中的英文。

在本书后续内容，我会经常提醒读者查看文档，根据以往经验，会有的学习者对此破不耐烦——曾有学习者在我的课程中对这种建议给予了“狂喷”。但我不会由于他的不满而改变此风格，真正有追求的读者能理解我的建议和要求。”