多元统计分析：对应分析

简介

（Correspondence Analysis, CA）

三种关系：

• Q型：样品 间
• R型：变量 间
• 对应型：样品 与 变量 间

Q：对应分析 比较 因子分析？ A：因子分析中，可用较少公共因子 来提取 样本数据 绝大部分信息，以便通过较少因素而获得足够信息， 缺点：对于R型、Q型因子分析，即对 变量、样本 分别做因子分析，并没有考虑变量与样本间联系，损失了一部分信息。 而且，在实际问题中，样本数目远大于变量数目，在Q型因子分析时，计算量远大于R型因子分析。 对应分析就是 通过 数学变换，把 Q型 、R型 因子分析 结合起来

卡方效验

• H_0: 相互独立
• H_1: 相互影响（不独立）

library(openxlsx)
d10.1 = read.xlsx('../Res/mvstats5.xlsx', 'd10.1', rowNames=T)

chisq.test(d10.1) # 卡方效验

# PS：chi 卡  s 方 q 查询

有结果可知：

由于 X-squared=118.1，p-value<0.001，所以 拒绝原假设 H_0，接受 H_1，认为因素A和因素B不独立，

即收入与满意度 之间 有密切联系，可以进一步做对应分析。

注意：相关性 与 独立 不是一回事 相关性检验 仅表 线性相关，对于非线性无作用

对应分析

library(ca)
cal = ca(d10.1)
summary(cal)

value 为特征值，cum% 为累积贡献率

cal$rowcoord # 行坐标

Q型因分、因子载荷矩阵（loadings）

cal$colcoord # 列坐标

R型因分

根据上述数据 作 对应分析图

plot(cal)

见图，相似的类会聚在一起，

对应图分析

据上图 可 将 样本点、变量 分为 3组：

1. 变量：< 1 万 样品：有些不满、很不满意
2. 变量：1 万 - 3 万、 3 万 - 5万 样品：比较满意
3. 变量：5 万 - 10万、>10万 样品：很满意

例 10.2

对应分析

d10.2 = read.xlsx('../Res/mvstats5.xlsx', 'd10.2', rowNames=T)
ca2 = ca(d10.2);ca2

​

对应分析图

plot(ca2)

summary(ca2)

案例

对应分析在农民收入分析中的应用

library(openxlsx)

Case10 = read.xlsx('../Res/mvcase5.xlsx', 'Case10', rowNames=T);Case10

C10d.1 = Case10[1:6,] # 文化程度数据
chisq.test(C10d.1)

C10d.2 = Case10[7:13,] # 总收入数据
chisq.test(C10d.2)

library(ca)

Ca1 = ca(C10d.1);summary(Ca1)

Ca1$rowcoord[,1:2]
Ca1$colcoord[,1:2]

plot(Ca1)

图10-2

据图 可将 样品 与 变量 分为三类：

Ca2 = ca(C10d.2);summary(Ca2)

Ca2$rowcoord[,1:2]
Ca2$colcoord[,1:2]

plot(Ca2)

据图 可将 广东省农民 的收入来源与收入水平 的 相关关系 分为三类

补充

R语言中 数据标准化 scale()

默认，scale() 对矩阵或数据框 的指定列 进行 均值为0、标准差为1 的标准化

newdata <- scale(mydata)

1. 对每一列 进行 任意均值和标准差 的标准化

newdata <- scale(mydata)*SD + M

M: 想要的均值

SD: 想要的标准差

注意：在非数值型的列上使用scale() 将会报错

1. 对指定列 而不是 整个矩阵 或 数据框 进行标准化，使用下方代码 此句 将变量 myvar 标准化为均值 50、标准差为 10 的变量

newdata <- transform(mydata, myvar = scale(myvar)*10+50)

经数据标准化后（均值0，标准差1 -> 方差1），协方差矩阵 等同 相关系数矩阵 标准差 就是 方差开根号 理由如下：

毫无疑问，分母 也可理解为 X的标准差 × Y的标准差

而经数据标准化后，标准差为1，所以此时分母为1，相关系数=协方差

标准化: 消除 列间 量纲差异，无法消除（行间）样本间 量纲差异

独立性效验 仅 判 因素A和因素B是否 独立，若 A、B独立，则 无需 进行 对应分析 这里 因素A、因素B 是 二维列联表 后 因素， 因素A 即 行因素（样本），因素B 即 列因素（指标/特征）

相关性检验 仅是说 线性相关，不能判非线性。 相关与独立不是一回事

参考

感谢帮助！

• 如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念？
• 《多元统计分析与R语言建模》王斌会
• 《R语言实战》Robert I. Kabacoff
• 本文作者： yiyun
• 本文链接： https://moeci.com/posts/分类-数据分析/分类-杂记/correspondence-analysis/
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