假设检验：α+β是多少

前几天，写过一篇关于功效分析的文章：功效分析：P值的胞弟。今天我们再来一起深入探讨一下α与β的关系。简言：α是弃真的概率，β是存伪的概率。

发现前辈有很好的文章，解答了α与β的关系，于是乎果断付费下载了，分享给大家。

一，α与β是在两个前提下的概率。α是拒绝H0时犯错误的概率(这时前提是“H0为真”)；β是接受H0时犯错误的概率(这时“H0为假”是前提)，所以α+β不一定等于1。

编辑数学字符比较困难，做一些简单替代：

图一

如果H0：μ1＝μ0为真，关于point与μ0的差异就要在图一中左边的正态分布中讨论。对于某一显著性水平α其临界点为boundary。(将两端各α/2放在同一端)。boundary右边表示H0的拒绝区，面积比率为α；左边表示H0的接受区，面积比率为1-α。

在“H0为真”的前提下随机得到的point落到拒绝区时我们拒绝H0是犯了错误的。由于point落到拒绝区的概率为α，因此拒绝“H0为真”时所犯错误(I型)的概率等于α。

而point落到H0的接受区时，由于前提仍是“H0为真”，因此接受H0是正确决定，point落在接受区的概率为1－α，那么正确接受H0的概率就等于1－α。

但讨论β错误时前提就改变了，要在“H0为假”这一前提下讨论。

对于H0是真是假我们事先并不能确定，如果H0为假、等价于H1为真，这时需要在图一中右边的正态分布中讨论·(H1：μ1>μ0)，它与在“H0为真”的前提下所讨论的相似。

point落在临界点左边时要拒绝H1(即接受H0)，而前提H1为真，因而犯了错误，这就是II型错误，其概率为β。很显然，当α＝0.05时，β不一定等于0.95。

二，在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大。这一点从图一也可以清楚看到。当临界点 boundary向右移时，α减小，但此时β一定增大；反之boundary向左移则α增大β减小。

一般在差异检验中主要关心的是能否有充分理由拒绝H0，从而证实H1，所以在统计中规定得较严。

至于β往往就不予重视了，其实许多情况需要在规定的同时尽量减小β。这种场合最直接的方法是增大样本容量。

因为样本平均数分布的标准差为“总体标准差除以根号“，当n增大时样本平均数分布将变得陡峭，在α和其他条件不变时β会减小(见图三)。

三，在图一中H1为真时的分布下讨论β错误已指出point落到临界点左边时拒绝H1所犯错误的概率为β。那么point落在临界点右边时接受Hl则为正确决定，其概率等于1－β。

换言之，当H1为真，即μ1与μ0确实有差异时(图一中，μ1与μ0的距离即表示μ1与μ0的真实差异)，能以(1－β)的概率接受之。

图二与图三

当α以及其他条件不变时，减小μ1与μ0的距离势必引起β增大、(1－β)减小，也就是说，其他条件不变，μ1与μ0真实差异很小时，正确接受H1的概率变小了。

或者说正确地检验出真实差异的把握度降低了。相反，若其他条件不变μ1与μ0的真实差异变大时，(1－β)增大即接受Hl的把握度增大。所以1－β反映着正确辨认真实差异的能力。

统计学中称(1－β)为统计检验力。这是个比较重要的统计学概念。假如真实差异很小时，某个检验仍能以较大的把握接受它，就说这个检验的统计检验力比较大。