Task1：随机事件与随机变量

诡途

发布于 2022-05-09 19:20:17

7750

发布于 2022-05-09 19:20:17

文章被收录于专栏：诡途的python路诡途的python路

阅读小助手

框架思维导图

一、基本概念

① 样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合，\Omega

② 随机事件：样本空间Ω中满足一定条件的子集，用大写字母A,B,C... 表示（随机事件在随机试验中可能出现也可能不出现）

③ 随机变量（Random Variable）：取值不确定的量 eg:掷骰子，掷出的点数记为X,可能取1，2…6； X的取值不确定，X就是随机变量

④ 结果（Outcome）：随机变量的观测值（具体的数） eg:掷出的点数是1，1就是一次结果，1，2，3，4，5，6都是结果，且掷骰子只有这六种结果

⑤ 事件（Event）：随机变量+结果结合的整体为事件 eg:掷出点数为1（X=1）,就是事件

⑥ 互斥事件（Mutually exclusive events）：两个事件不可同时发生

⑦ 完备事件(Exhaustive events)：包含所有结果的事件.

⑧ 概率：随机事件出现的可能性（likelihood)大小

二、概率基础

1、古典概型

概念： ① 样本空间中只有有限个样本点

② 每个样本点出现是等可能的

③ 每次试验有且仅有一个样本点发生

Python实现：

#采用函数的递归的方法定义阶乘函数：
def factorial(n):
    if n == 0:
        return 1;
    else:
        return (n*factorial(n-1)) 
        
#也可以直接导包
from math import factorial
l_fac = factorial(365);          #l的阶乘
l_k_fac = factorial(365-40)      #l-k的阶乘
l_k_exp = 365**40                #l的k次方

P_B =  l_fac /(l_k_fac * l_k_exp)     #P(B）
print("事件B的概率为：",P_B)
print("40个同学中至少两个人同一天过生日的概率是：",1 - P_B)

2、条件概率

定义：

乘法法则(Multiplication rule)：

3、全概率公式

推导过程：

4、贝叶斯公式——Baye's Formula

树状图计算——Baye's Formula 简单运用

假设：

B(条件/信息)：摸眉毛；A(事件)：好牌\Longrightarrow 求：P(A|B)=?

P(A|B)=\frac{AB}{P(B)}=\frac{①}{①+③}=\frac{0.5*0.9}{0.5*0.9+0.5*0.05}=0.95

三、随机变量及其分布特征

0、随机变量分类

连续型随机变量和离散性随机变量

1、期望Expected Value（μ/E(X)）

数学期望E(X) 又称为均值（加权平均，概率为权重），代表了随机变量取值的平均值

E(X)=\Sigma Xi *P(xi)=X1*P(x1)+X2*P(x2)+...+Xn*P(xn)

2、方差Variance（总体σ^2/样本s^2 ）

σ^2=\Sigma Pi*(Xi-EX)^2

=E(Y)=E[(X-EX)^2]

=E[(X-EX)(X-EX)]

3、协方差Covariance（COV）

COV(X,X)=E[(X-EX)(X-EX)]=σ^2(X)

COV(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

4、相关系数correlation（ρ）

相关系数=协方差除以标准差的积

\rho XY=\frac{COV(X,Y)}{\sqrt{\sigma^2 X \sigma^2 Y}}==\frac{COV(X,Y)}{\sigma X \sigma Y}

python实现

#导入包
import pandas as pd
import numpy as np

#构造单个随机变量
random_X=pd.DataFrame({"P(X)":[0.2,0.3,0.1,0.2,0.1,0.1]},index=list(range(1,7))).T
random_X


#定义期望、方差计算函数
#期望
def cpt_EX(X,P_X):
    return sum([x*p for x,p in list(zip(X,P_X))])

#方差
def cpt_Var(X,P_X):
    
    #list转化为array 进行广播运算，list直接广播这里没问题，下面计算协方差好像有问题
    return cpt_EX((np.array(X)-cpt_EX(X,P_X))**2,P_X)

X=random_X.columns
P_X=random_X.loc['P(X)'].tolist()
print("随机变量 X 的期望是：%s"%cpt_EX(X,P_X))
print("随机变量 X 的方差是：%s"%cpt_Var(X,P_X))


#构造联合概率分分步表
joint_prob=pd.DataFrame([[0.15,0,0],[0,0.60,0],[0,0,0.25],],
                        index=["X1=0.20","X2=0.15","X3=0.04"],
                        columns=["Y1=0.40","Y2=0.20","Y3=0.00"])
joint_prob
#取对角线
P_xy=np.diagonal(joint_prob, offset=0, axis1=0, axis2=1).tolist()
X=[float(value[3:]) for value in joint_prob.index]
Y=[float(value[3:]) for value in joint_prob.columns]

#定义协方差、相关系数计算函数
#协方差
def cpt_Cov(X,Y,P_xy):
    return sum([p*x_Ex*y_Ey for p,x_Ex,y_Ey in list(zip(P_xy,(np.array(X)-cpt_EX(X,P_xy)),(np.array(Y)-cpt_EX(X,P_xy))))])

#相关系数
def cpt_corr(X,Y,P_xy):
    return cpt_Cov(X,Y,P_xy)/(cpt_Var(X,P_xy)*cpt_Var(Y,P_xy))**(1/2) if (cpt_Var(X,P_xy) !=0)&(cpt_Var(Y,P_xy)!=0) else 0

print(" 随机变量 X 的期望是：%s \n"%cpt_EX(X,P_xy),
      "随机变量 Y 的期望是：%s \n"%cpt_EX(Y,P_xy),
      "随机变量 X,Y 的协方差是：%s \n"% cpt_Cov(X,Y,P_xy),
      "随机变量 X,Y 的相关系数是：%.3f \n"%cpt_corr(X,Y,P_xy))

#验证自己与自己的协方差等于方差
X=random_X.columns
P_X=random_X.loc['P(X)'].tolist()
print("  随机变量 X 的方差是：%s \n"%cpt_Var(X,P_X),
      " 随机变量 X 的协方差是：%s \n"%cpt_Cov(X,X,P_X),)

代码运行样例