从经典动力学理解勒让德变换

技术背景

勒让德变换在经典力学和统计力学中是非常常用的一个数学工具，其变换了一个函数的所有（或部分）自变量，也改变了函数的形式，最终却不改变函数所表征的意义。最典型的案例是从拉格朗日动力学到哈密顿动力学的勒让德变换的应用，最终证明了两种力学框架的一致性。但是勒让德变换作为一个数学工具，光看形式的话很容易让人不明所以，这里我们代入一个经典动力学的案例，来看看勒让德变换的真实物理含义是什么。

场景假设

假定某一个白天，勒让德正在一个操场上自南向北走过，突然他向右一转头，发现一个自东向西飞过来的足球，砸中了自己的脑袋。勒让德并没有看清楚球的具体轨迹，但是离勒让德不远的足球场上正站着三个人，一个人在勒让德的正东方，一个人在勒让德的东南方，一个人在勒让德的东北方。那么问题来了，是谁踢中了勒让德的脑袋呢？此时勒让德想起来球在砸到你的脑袋的一瞬间，是自东向西飞的，于是勒让德笃定就是在正东方的那个人踢过来的球【后人称之为勒让德变换】，然后勒让德跑过去把他打了一顿。但是勒让德不仅没打得过他，还被告知自己找错人了，这是怎么一回事呢？

总结概要

为了通过一些实际问题来理解勒让德变换，我们假定了这样的一个场景：一个叫勒让德的人在足球场边上被不知来源的球砸中了脑袋，只能够判断足球砸到脑袋的一瞬间的速度方向。而通过勒让德变换的函数值，结合足球旋转的角速度，我们就可以得出足球的真实来源。同时，通过勒让德变换，我们还可以从拉格朗日力学推导到哈密顿力学。而且勒让德变换在热力学系统也有非常重要的应用场景。