统计学(一) Z 分数与Z检验先修

本文将专注于用有趣的方式阐述统计学中最基本的入门概念 —— Z 分数，这也是所有统计学检验的基础，与统计知识相关的实战案例将会在后续推文中陆续呈现。

背景介绍

《西奥蒂尼社会心理学》揭开了自我、环境、群体之间看不见的影响力。“ 行为背后的目的到底是什么？” 与 “ 目的背后的人和环境发挥了怎样的作用？” 是社会心理学探究的两大核心问题。所以我们将以心理学为舟，争取深入浅出统计学中最基础的概念 —— Z 分数。

需求是学以致用最好的催化剂。 —— 佚名

笔者从心理学网站中抽取了有一组关于说服者态度强硬指数的数据（50人），先随机展示 10 条数据。

为了探究受试者态度强硬的程度与说服结果的关系，我带着如下问题开展了心理学与统计学结合的研究：

1. 从这 50 人中任抽一个，如何快速知晓 TA 的“段位”(不只是排名)情况，并将这个概念汇报给非统计学的学习者？
2. 任意给一个“段位”指标，我能否快速说出要达到这个段位所需的分数？
3. 为什么需要引入 Z 分数的概念？直接将数据按由小到大的顺序排好，不就可以知道每位同学的情况了吗？

上述问题中我们虚与委蛇的 “ 段位 ”，在统计学中指的是被抽中的这位被试 (下简称被试) 超过/落后了群体中百分之几的人，又或者说群体中有百分之几的人在 TA 前/后面。不过为了对 z 分数有一个更加深刻的认识，请确保我们已经掌握了如下基础中的基础的概念和简单的术语，它们在统计学实验和文献中会经常出现。

原理趣析

z 分数是将个体分数，个体所在样本或总体的平均值和标准差串在一起的一个概念，它是对普通数据进行转换的结果，可以更好地描述数据在分布中的位置，进而得出原始分数在数据集合中的百分等级，这样便能让一个统计学外行人也能完全听懂；计算公式为 Z = (X - M)/SD，用来描述某分数（变量上的特定个体，只是一个）在其分布中高于(或低于，如果它为负)平均数的标准差数目。总的来说，可以确定该分数所在的位置("段位")

如何理解 Z 分数公式？

先从标准差开始，标准差能够用来表示数据的变异程度。如果某数据告诉你人类平均每天做梦次数为 6，标准差为2.57，则在变相告诉你：每个人的做梦次数在平均数 6 上下约 2.5 个单位范围内变化。所以 Z 分数可以更专业准确的告诉你某人到底比平均值偏了多少，仅此而已。统计学中的各种假设检验如：Z检验，单双样本T检验，卡方检验等等，都能从最基础的 Z 分数公式中看到影子，只是公式中字母的含义和检验的背景不同罢了。

实践应用

我们现在随机抽取一位同学，计算 TA 强硬指数的“段位”求解 z 分数

  现在我们知道了 "石军" 同学的 z 分数大约为 -0.63，那接下来该如何判断其“段位”呢？两个方法：结合正态分布曲线粗略标定法和直接查表法。

查表法：如下为z 分数表

  通过上表不难看出，石军的 z_score 为 -0.63，根据正态曲线的 z 分数表可以找出精确的百分比为 0.735(三位小数)，即 73.5%，因为其 z 分数为负，所以我们可以这样说：石军同学的强硬指数低于 73.5% 的同学。

粗略估计法则则可参照下图的范围区间（该图非常常用，需要牢记）

回顾

1. 谈谈你对平均数，方差和标准差的理解吧，他们之间的关系
2. z 分数是什么，计算公式？有什么意义？（答案见原文，上同）
3. z 分数与百分位数有什么异同？计算公式与 numpy 中的 percentile 函数可当成是一体吗？（答案：percentile（百分位数）更接近顺序变量，Z-score（标准分数）是连续变量。分布正态时两者无差别，偏态时用百分位数更好，不过还是要看具体情况。）

总而言之，熟练使用 Z 分数是入门统计学的开始，加油！