对称、群论与魔术（三）——常见的几何对称性简介
对称、群论与魔术（三）——常见的几何对称性简介
在上一篇文章中，我们着重讲到对于复杂的对称性，我们依据几何变换操作的特点，引入群的数学工具来描述。并且，群也不仅仅能描述对称性，而是可以描述一整个操作集合的结构。相关内容请戳：
不过，今天我们要回归一下可能是人类发现群论的起源。那就是，在空间几何的范畴内，到底有哪些基本的对称性和操作，一方面有深邃的数学内涵，又有足够的美学价值，值得我们用美的眼光来欣赏呢？
空间几何对称的定义剖析
我们首先来看看，wiki上是怎么给具体的几何对称下定义的：
A geometric shape or object is symmetric if it can be divided into two or more identical pieces that are arranged in an organized fashion. This means that an object is symmetric if there is a transformation that moves individual pieces of the object, but doesn't change the overall shape. The type of symmetry is determined by the way the pieces are organized, or by the type of transformation.
你看，几何对称性最粗浅的认识，就还真是两个对象的对应性，如最典型的轴对称，就是所谓的翻折重合。但实际上，这个对象的数量可以更多，变换方式也可以多种多样，物理上合理即可。更重要的是，其更本质的特点是对称不变性，即以集合方式描述的像素点级别的不变性。而对应性仅仅是对称不变性的低阶特点而已，比如中心对称在中小学阶段比轴对称稍微难理解，就在于它更适合用旋转180度不变这样的对称性，而不是两个部分转180度互相重合的对应性来描述更符合直觉。
进一步来理解，一个几何对称图形一定是可以拆分成若干个部分的并集的，这个集合的元素就是群内元素，而且某个几何操作恰好能够生成它们，构成生成群。所以才有了，几何对称图案，其实是基础图案加上具有某性质的群操作构成的。这一切都符合上一讲中介绍的生成群的概念。那么在几何对称中，我们自然要研究的就是，对于一个基础图案，有哪些满足各种性质的双射几何操作，以及我们肉眼已见的图案，分别又可以看作哪些操作生成的呢？
空间几何对称类型介绍
1. 反射对称(reflectional symmetry)：也叫线/轴对称（line symmetry）或镜像/面对称（mirror symmetry），一般以2维还是3维对象来区分，自然也可以抽象到n维空间去，只是那就进入抽象几何的领域了。因为镜子的存在，这种对称深入人心，是最直观，简洁，一眼就能让人感受到安全感的那种美学对称。这里我给出抽象n维空间内的(n-1)维对象对称计算公式：
对称对象方程组：
x’ = x + k * F
((x’ + x) / 2 – A)T * F = 0
F为法向量，A为平面内参考点，x为原空间的点，x为对称过去的点。
得：
k = 2(A - x)T * F / (|F| ^ 2)
x’ = x + 2(A - x)T * F / (|F| ^ 2) * F
2. 旋转对称（rotational symmetry）：平面旋转围绕点，空间内也可以围绕点，不过仍然会坍缩为平面，故是围绕直线，自然4维空间就得是围绕平面来旋转了（式子倒是不难列，不过有点难想象，因为没人见过）。其经典案例自然就是正n变形了，当我们以其边或者点去用旋转变换来生成它们时，对其认识可以说又近了一步。如果是圆，那就是任意旋转角都对称，n边形自然有其旋转角360 / n的整倍数的对称。如果从生成角度，那一定得是一个有理数角度的旋转m / n（最简分数）,才能转n * 360 / gcd(m, 360)次之后真的回到原状，满足封闭性。否则，转根号2度很容易证明，永远都回不来。（注意这里用的是360角度度量制，弧度制结论类似）最后我们给出n维空间对象的点中心对称公式，即180度旋转的特例（其余对称角度暂略），会发现选准对称公式随着维度增加也是对称不变的，仍然在给定平面内进行：
对称中心：A
x’ = 2A – x
自然有3维空间对象的1维旋转轴z轴的旋转arpha角后的对称结果公式：
xi’ = sqrt(xi ^ 2 + xj ^ 2)cos(arctan(xi /xj) + arpha)
xj’ = sqrt(xi ^ 2 + xj ^ 2)sin(arctan(xi /xj) + arpha)
xk' = xk
当然还可以推演到n维空间对象的(n - 2)维旋转轴的对称公式，对应关系照着写就是了。
3. 平移对称（translational symmetry）：按理而言，一个有限平面的平移是不可能和原图形重合的，毕竟你连原来的定义域都改了。但是如果我们想象的是一个无穷大平面，或者是取mod运算的那种加法的平移，以保持定义域，就可以了。如果你回忆起一些粗制滥造的水管工游戏，就会发现主人公走到屏幕右边后竟然会从左边出来，对，就是这种循环周期平移，对应到循环周期序列上。这一点在前面讲《扒一扒那些叫欧拉的定理们（十）——群论观点下的欧拉公式进阶》讲到复平面上的数轴和整个平面的平移操作就是平移对称，放缩就是后面讲的尺度对称，以及《Gilbreath原理中的数学与魔术（三）——Gilbreath First Principle魔术应用初探《红黑洗牌分离》》中提到的周期循环序列，也是这类对称的抽象例子。不过，复平面那种是可以平移任何长度都对称的，而一般的要指定长度的倍数才对称，这个指定长度就是图像本身平移对称性的最小周期度量。
4. 螺旋对称（helical symmetry）：即在三维空间内同步进行平移和旋转的不变性，那根沿着旋转和平移的轴称为screw axis。典型的例子如其名，就是螺丝和弹簧了，不过得是假想的无限长的锥形或圆柱形才行，注意如果是螺丝对平移固定长度的倍数也是对称的，而旋转不是。因为得转360度，没有意义。
5. 尺度对称（scale symmetry）：最典型的例子就是那个谢宾斯基三角形了，它有着自相似的特点，即该图案的局部和整体是相似的。这个三角图案可比什么尺度对称有名多了，因为不用数学也能感受到它的美或者密集恐惧，但是背后的数学过程才是真的更美。
6. 滑移反射对称（glide reflection symmetry）：平移和反射对称的复合。你可别以为这又是数学家生造的变换，它竟然是真实存在的，那就是径直行走的人的脚印序列！因为两只脚本身是轴对称的，再一前一后刚好满足！所以看上去2个脚步的平移也是其对称操作，但是单独的对称就不是了，除非你是像跳跳兔一样跳着走的，两只脚永远都对称并排。如图所示：
图1 滑移反射对称
7. 旋转反映对称（rotoreflection）：简称映转对称，有的也称瑕旋转，即反射和旋转的组合对称，比如一个带有定向边缘的五角反棱柱（pentagonal antiprism），就满足旋转36度再镜像对称后保持不变的性质。如图所示：
图2 旋转反映对称
空间几何对称类型总结
上述这些对称方式的关系其实也十分明朗，在物理上我们把运动前后任意两点间距离不变的运动称为刚体运动（那么长度和角度就都不变了），数学上就是刚体变换，这对应上面的平移和旋转（2和3）。
除了刚体变换，就是镜像的轴对称变换1了。轴对称虽然也点距不变，但是在一般三维空间内并做不到，因为这类似于要把左手变成右手，你总不能把手像手套一样反过来，还要求里外没有区别吧？不过用三维旋转180度倒是能降维构造平面内的轴对称现象。
虽然轴对称在实体中并没那么好实现，但镜子简直就是bug，实现的同时其实帮我们降维了一个更高一维度空间内旋转180度的现象。
以上123的组合共形成了467这三个组合，也不再有别的组合方式了，当然我也懒得想象把这三者全组合在一起会是什么怪胎，不过理论上却是存在的。
最后一个特殊的便是尺度变换，它是唯一一个有伴随着物质增长或缩小的变换，因此只能是无穷空间下才有，不过生命随着时间的生长，是不是也可以看作是一种尺度变换呢？
从空间几何对称到群论描述下的通用对称性
这些都是群的具体应用，他们可以用来描述对称，但是不是所有群都是用来描述对称的。比如Reverse这个原理中，我们只是用群来理解经历Reverse操作以后的各种可能结果以及他们的运算关系，并利用ff=e这个关系来构造恒等式，故真正利用的其实是这个恒等式所对应的不变性，所对应的那个对称性。虽然这个对称看起来已经有些别扭了，因为它必须是一个多重操作才真正管用，而且它竟然是个对任意x都管用的恒等式，缺乏了对称性中对特定对象的操作的含义，更像是操作本身的性质，和对象无关了。当然，我们还有f=e直接的对称不动点应用，以及fff=e，ffff=e需要更多次操作才能完成的恒等式构造的情况，这些都是对称群（symmetric group）内的操作和性质，并非真的几何上的对称群（symmetry group），但却是个置换群（permutation group），因为每个有限抽象群都与之同构（Cayley定理），也都可以用它来表达。
又比如，D1群和C2群其实是同构的，都只有两个元素且满足f ^ 2 = e，却叫了不同的名字。只不过在实际中，是描述几何对称性时候的具体操作分别是二面体的水平翻转和面内绕中心旋转。不过，虽然是这么形成的，但是我们就此讨论的对称群（symmetry group）本身的时候，只是以之为代表来研究罢了，本身是可以脱离于这个具体实例的。二其本质，是表示图像的点集和几何上可行的操作。
以上几篇文章，我们就对群论给了一个挂一漏万式的介绍，从我自身的学习和思考出发把这些枯燥的数学知识产生的来龙去脉尽量梳理清楚。而本篇主要依托几何图形对称性这一具体应用来讲的，希望大家有所收获。
下一篇，我们进入更具体而熟悉地对象——扑克牌，来应用我们学到的群论描述对称性的知识，敬请期待吧！
以下是本系列将分享的相关魔术，先睹为快！
视频1 吉普赛测试
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我们是谁：
MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。