对称、群论与魔术（五）——真实扑克牌图案的对称性探索

前面的系列文章我们聊过了如何用群来描述对称性。而在上一篇中，我们着重讲了扑克牌从一个D4的空白正方形，演化成一个C2的印着背面对称图案的过程中不同阶段的对称情况，相关内容请戳：

对称、群论与魔术（四）——空白扑克卡片的对称性研究

对称、群论与魔术（三）——常见的几何对称性简介

对称、群论与魔术（二）——用群来描述对称性

对称、群论与魔术（一）——对称性本质探索

今天，我们接着来看它印上图案以后的对称性。

扑克牌图案的牌角有怎样的对称性？

从D4到C2，现在越来越接近一张真实的扑克牌了。无论点数如何，还是大小王，我们在长方形的对角印上相同的图案，其中一个是另一个的180度旋转操作的结果，旋转中心和长方形卡片本身的C2旋转对称中心重合。于是，这更加强化这是一张C2的牌了，而且就牌角的图案在我们手持牌叠打牌的时候，怎么转好像都不影响从一叠牌中识别出它来。不信你看：

图1 手持牌叠的样子

但是同时也可以注意到，其印制角标的位置连线是在穿过2, 4象限的对角线，即连线的斜率为负。这样对于左手持牌，右手打牌的右撇子是恰到好处的，可以轻松开扇后看到每张牌在角标上显示的值。而1, 3象限对角线上，并没有印制角标。所以，世界上几乎所有的扑克牌都天然是为右撇子设计的，一般的商店里还真买不到反过来印制的，也只有极少数的厂商会做那种四个角都印了角标的扑克牌（同样的一组在1,3象限的C2关系的图案，会和原图案呈现左右两组平移关系，不然对称或者旋转180度，都会导致看起来不是正的），因为大部分时候，1,3象限的·一侧是用不到的。这时候，左撇子要么就得学像右撇子一样拿牌，其别扭程度就和右撇子用不灵活的左手打牌，灵活却使不上劲的右手持牌是一样的。不然，他们要是合着性子来，又想看到牌面，就会变成这个样子：

图2 左撇子为了看牌，真不容易

当然，这种细节魔术师也从来不放过。比如，如下图所示的开白扇，就是模仿左撇子拿牌，开出一个和正常扇共同构成轴对称的图案。哈哈，要是左撇子像右撇子一样任性地拿牌还不难看地调整，看到的就是下面这个样子，方便是方便了，可压根啥也看不见，不可行。

图3 开白扇

以上这些怪异的事实也侧面说明了左右手其实并不能刚体变换下重合，是互为镜像面对称关系，合在一起是个对称图形，化学里的手性便由此而得名。其实，古代竖着和从右往左写字的习惯似乎就是惯着左撇子的，而且竖着来因为每次回到同样的高度要一段时间，墨迹也干了，不会擦到。但是，我们从左往右写的方式可难为左撇子了，随时擦得一手的墨水，而且很多并不对称的字，你发现，反过来写要写好，还真不容易。后来这些问题我还问过一位左撇子同事，原来和我想象推演的真的一样麻烦和困扰。不过，拿牌方式上面，三权相害取其轻，他不会用右手别扭地抓牌，因为那样要么抓着别扭，要么都看不见。于是他会克服习惯像右撇子那样拿，虽然不是很顺手，但不至于打不了牌了。

如上所述，就真实的牌而言，早就放弃图案的轴对称性了，因为本身翻转就到背面不一样的，二者只有在方块上完美结合在一起，是个D2群，但是又没有那样的轴对称几何变换存在。

于是，当我们已经印上只有一条对角线的角标以后，整个扑克牌哪怕正反面一样，也没有轴对称性了，因为那两条不一样的对角线不是轴对称的，得两个同时存在才构成真的对称图形。同时，图案上，你得真的把数字和花色对称着写，花色有对称不变性，可是数字中心对称或轴着写就不太对了，只能是平移变换得到的平移对称。可见，这种旋转对称的引入直接破坏了原本可能的轴对称了，故接下对真实扑克牌，来我们就只考虑中心对称的有无了。

扑克牌真实图案有怎样的对称性？

最后，我们来看看真实牌面图案对称的秘密，为了方便，不妨剥离掉牌角的中心对称C2群，单独来看下牌面其他图案的性质。

先给个初步印象：

图4 扑克牌图案

我感觉在设计之初，这些图案的排布上为了美下了很大功夫，对称就是其中美的重要考量，因此似乎是怎么对称怎么来，但仔细分析后发现又不是。

首先，花牌随牌角是个中心对称图形，满足了整体的C2。其他的牌因为牌角的性质，也没打算要D2性质，不过去除以后，牌面本身的轴对称性，还是被设计师看中了。

而单个花色来看只有Dimand是D2，其余都是只有旋转360度才能恢复原样的D1（其中对称是轴对称的折叠重合，不是翻转，因为只有一面），而这种性质还需要该图案本身在整个D2矩形的对应对称轴上才行。

故处在中心处的方块使得D2仍然成立，其他花色就只有D1了。然而方块也没必要做成D4，因为扑克牌已经D2合在一起不可能超越了。而在对称轴上直接对称分布的图案和花色本身来说只需要有对称性即可，比如有横向的2和纵向的2。扑克牌点的2花色的印制是从纵向开始的，不然横向的要么使得旋转180度的中心对称性消失，要么就得花色倒转，使得其好不容易保有的轴对称失效。而恰好他们都在原轴对称的对称轴上时能够成立，比如所有花色的2，还神奇地保留着轴对称性。

再看旋转90度周期为4的对称性质。如果纯旋转，那就是C4，很可惜长方形只是一个C2了，如果保持D4则必须元素本身也是。方块也只是D2罢了，用一个对称图形旋转得到可以保持其原有的中心对称性，这就有了4的图案。其他数字以此类推，扑克牌的图案设计在单个花色D1对称的基础上，设计原则上，保证了D1对称性，无论是居中摆放，还是两边对称都是如此。但是其D2需要的旋转180度的旋转对称，需要一个本就有轴对称性的花色元素有着和长方形重合的对称轴，然后绕着同样的旋转中心变成两倍个元素去生成才行。因此，奇数牌Ace,3,5,7,9都至少有一个没有另一个中心对称对象的图案，除非其单个元素有D2对称性且被放置在了中心位置，和长方形的对称轴，中心都重合，否则必然要损失中心对称性。故仅有Ace和3,5,9并且是方块做到了这一点，他们是奇数块中仅有的4个保持中心对称性地扑克牌。其余所有的7和非方块的奇数牌都不具有中心对称性。

再来考虑偶数牌，如果按照上面的扩展摆放原则：2就上下排布保持D2，4则对称加旋转来扩展得到Klein-4，本来是都可以解决中心对称问题的。然而2,4,6,8,10中，偏偏6没有这么做，可能是一排排3个花色太多了吧，想和其一半3保持相似性但不想像8那样上下交错吧，结果8也跟着6的模样不对称了，而10刚好调整回来。虽然因为水平平放，大部分花色丧失了其中心对称性，但是方块依然坚挺，仍然源于自身的D2对称属性。所以保持中心对称的偶数牌就只有2，4，10，以及方块的6和8。

当然，我已经无从考究扑克牌的点数为什么要这样摆放了，也许先人根本就没考虑这么多就浑然天成，一直沿用至今了，以下是各张扑克牌点数摆放方式的拆解：

1 = 1

2 = 2

3 = 1 + 2

4 = 4

5 = 1 + 4

6 = 2' + 4

7 = 1' + 2' + 4

8 = 2' + 2 + 4

9 = 1 + 4 + 4

10 = 2 + 4 + 4

只要出现了1或代表横着摆放的2'，则只有方块可以保持中心对称性，且唯一的例外便是7，唯一一个方块也救不了其对称性的牌，因为它的1'都是不在中心的，真是不作死就不会死。不过这也看出来这里扑克牌图案分布的一个原则了，那就是几乎不存在一行同样高度的3个花色，一定要错落开成更多的行来摆放它们才行。这样才好解释为什么6和8要那么玩，还有7的奇怪位置了，中心对称性并不是唯一的考量，还有各自拥挤程度，距离平均性的美观考虑。

至于说j，q，k的人头牌，我们可以清晰地看到它们设计之初天然就照着C2对中心称性画的，倒也爽快地没有要轴对称性了。

最后用集合语言描述以下，扑克牌所有牌里的中心对称子集为：

C = {c | c.value in {11, 12, 13} or (c.suit == diamond and c != 7) or (c.value != 6 or 8 and c.value % 2 = 0)}

所以，总计有所有花色的JQK，2,4,10，以及方块除去7的牌是具有C2对称性的，根据容斥原理（直接分类计算化简了），共计：6 * 3 + 6 + (13 – 1) - 6 = 30张牌，根据补集定义，还有52 – 30 = 22张牌无对称性。一般地，大小王是没有C2对称性的，至少我这20多年目力所及的范围是如此，所以一副牌也就仅有24张牌没有对称性。

看到上面这些内容，估计大家都绕晕了，我学个魔术用费这么大的劲么？但是，醉翁之意不在酒，有些部分，数学就是比魔术还要美，而魔术，不过是锦上添花罢了。

至于我们为什么要突然算没有中心对称性的牌的张数呢？下一篇我们魔术里见分晓！表演视频先睹为快！

视频1 对称找牌

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我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。