对称、群论与魔术（六）——经典魔术《对称找牌》

在前面的文章中，我们聊完了对称性的呈现和群论描述，以及从简单到复杂的在扑克牌上，对称性的具体分析，相关内容请戳：

对称、群论与魔术（五）——真实扑克牌图案的对称性探索

对称、群论与魔术（四）——空白扑克卡片的对称性研究

对称、群论与魔术（三）——常见的几何对称性简介

对称、群论与魔术（二）——用群来描述对称性

对称、群论与魔术（一）——对称性本质探索

今天我们就应用上一讲聊到的扑克牌上的对称性的结论，来看看在魔术中具体是怎么应用的。

对称找牌

先看视频。 //v.qq.com/txp/iframe/player.html?

视频1 对称找牌

魔术由来

观众选到一张牌，然后魔术师再通过各种方法找到，这应该是扑克牌魔术最古老的的展现方式了，也是很多魔术爱好者还在魔术启蒙时候学的第一个扑克牌魔术吧！这个方法我相信已经普及得不能再普及，很多玩牌多一点的人也都知道一二。

我是在很小的时候爸爸带着我玩的时候教我的这个方法，瞬间如获至宝一般。对于一个渴望奇迹，又还不会什么魔术手法，技巧的孩子而言，这个魔术方法简直是神器一般，我迅速学会了它，并把它放入了我的武器库。

数学原理

上篇文章中，我们分析了从正四边形开始，不断挖掘深入到真实扑克牌的对称性的分析，只是为了通过扑克牌这一经典熟悉的对象，来讲清楚对称背后用群论描述的代数结构。而在魔术中的应用其实就很简单了，只是应用了最简单的部分扑克牌没有C2对称性这一个点，就够了。

具体是怎么做的呢？根据上篇文章的分析，扑克牌里一共有24张的图案没有C2对称性，其余的也仅有C2对称性罢了，二面体的对称和C4也都在加上统一背面和变成长方形的时候消失了。因为这个区别，所以那24张牌存在两种真实不同的摆放方式；而其余有C2性质的牌，拿起来成码齐的一叠的时候，因为其对称性，两种方式看上去没有区别。扑克牌本身是为了能够在旋转180度的时候看上去没有区别，这样倒转顺序的洗牌方法也不会打乱它，牌角是这样，但是很多花色的图案为了美观，并做不到这一点。

而我们要的却就是这个区别！我们说过，要找到一张观众的选牌，可以通过直接或者间接的方式获取其索引或者直接的值：后者如关键牌法，前者如各种暗瞥的方法。而还有一种很隐蔽的策略，便是已知选牌的某个独一无二的性质，便可以把他从整叠牌的集合中找出来。比如在《Card College》里介绍的洗牌魔术利用红黑不同的分离不同来找到观众的牌并最后毁灭证据，还有刘源的Hofzinser problem里面对找到选牌的方式，都是这一方法的应用。当然，在那个著名的《Card College》的三叠找牌的魔术里，最值也可以被认为是一种特殊唯一性质，只不过这个性质是相互比较得到。相似的性质还有如是否是质数，花牌等等，只要可以容易辨别计算即可。而他们还有一个共同的特性，就是选牌是唯一一张具有那个性质的，换句话说，以之划分出来的集合仅有一个元素，故可以直接确定该元素的值！

但这里，不同于这些和牌点值有关的性质差异，用到了扑克牌和点数本身无关，仅和摆放方式有关的这个更隐蔽的性质，即到底是朝上还是朝下。因此我们首先必须保证手里可用的选牌都是有朝向的那21张中的，然后回来的时候，改变自己手里牌的朝向，使得和观众选牌发生区别。当然，这个魔术比较简单，设置差异方法还可以直接以有无朝向，即是否C2来论，只需要观众选的牌控制在非C2群牌面的牌内就可以了，这又是一种软控制。这种方法比前面那些应用不同，可以真的洗牌，比如riffle shuffle，hindu shuffle随便来，因为一般的洗牌是不改变方向的，性质保持。而往往像奇偶性，是否质数，花牌等性质，一洗就会把原本天然的局部集合分界线洗掉，使得原来的唯一性不保。但劣势在于，需要手动注意改变其朝向，使其真的成为唯一一个可判断的朝向相反的牌，因为那个并非花色点数本身而是其印法可分辨的朝向，才是我们判别的来源。

何为正向的扑克牌？

讲到这里，还有一个关键问题是，对无C2对称性的24张牌，怎么去规定和记忆到底哪个方向为正哪个方向是反呢？这里涉及两个维度的理解：其一，逻辑上，正和反仅仅对应于一组相反的逻辑值，或者一个分类变量的两个类型（此时连逻辑运算都不完全成立，抛弃了其作为真假的意义）是可以任意规定和附着在两个类型上的；其二，在日常的建模中，我们往往把那个默认的，习惯的状态视作1，或者正，把别扭的状态视作0，或者负，不过这只是约定俗成，方便人们习惯性地描述和理解，并不构成错误。

所以，扑克牌这里，我们应当以最直观的方式去描述那些不对称图案的正和反方向。首先是花色本身的方向，除了方块没有以外，剩下的自然方向其实非常明显，总结下规律就是尖尖朝向为下（虽然这并不是一般人的判断依据，但是和一般人的判断基本吻合，并且描述精确）。一张牌的所有花色如果都朝一个方向，就像一幅字的方向就是所有字共同的方向一样，那就是扑克牌的默认规定正方向了，但不是也无妨，自然地去数正方向为多的为整个图的正方向即可，这么判断下来的结果，也十分符合直觉。唯一一个不同的是唯一一张没有花色正反但整个图无中心对称的方块7，显然我们会希望它的正反应该和其他一致，而它们的特点是，上半部分的花色数量多于下面，于是，这就成为方块7正向判断的补丁，和直观的结果一致。自然地，大小王人形图案的正反就遵循最朴素的头在上，脚在下的思路。到此24张不对称的扑克牌就全搞定了。

你看，这种把直觉变成精确、严格的数学判断的过程，真是十分地能考验和锻炼一个人的逻辑抽象能力。

回到魔术本身，不知道你想过没有，难道这个魔术就只能用这24张牌来变吗？有没有低成本的就地取材的优化方法呢？

答案是用牌背！这样甚至可以演成不用看牌面就能变的场景，牌背上的对称性秘密，远超你的想象！

牌背对称性探寻

部分国产牌，如钓鱼等的背面是有朝向的，因此可以使得整个54张牌都可以用来选。而一般的像姚记和国外的几乎所有品牌，bicycle，bee，tallyho等等，背后的花纹都至少是C2，而bee和tallyho竟然保持了和长方形一样的klein-four group，对称性比正面的C2还要好，同构于D2。但bicycle的话，经过我观察，单车小人两边的鸟，以及草的分布和数量好像并不一样，影响了轴对称性。但是C2已然满足了，而剔除的轴对称性，只能用来判断牌的正反。额，正反还用看鸟来决定么，正反面压根就是印的不同的东西啊。另外，一方面只要不是bee那样印满了花纹到纸边，其留白处的上下或左右的宽度不同或者倾斜，都可以留下不少不对称的证据供使用；而且，那些满布的花纹其实非常适合用来做记号，bicycle上那么多鸟，Tallyho上的圆点，随便一涂就能表达很多信息了。

不过据最新和玩魔术的朋友们聊到，Tallyho在印刷的过程中，由于历史原因，竟然是没有中心对称性也没有轴对称性的，而这个细微差别几乎是像素级别的。这里我先不给大家答案了，给大家一张牌背的图，大家自行寻找不对称之处吧！答案会在下期公布！

图1 tallyho牌背图案

这个魔术也是找牌魔术的基本例子，很好地说明了其单元素集合特征法找牌的方式，我们在其他文章中再分享。

下一期，我们将继续围绕对称和群论描述的概念，来进入数学魔术里极为重要的一类结构，对称性原理的魔术，比起表面上的几何对称，抽象的对称更深邃，更神秘，更迷人。

视频先奉上，下期见！

视频2 tic-tac-toe的奇迹

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我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。