有限元+谱元法的高频计算

本质上讲述了一个谱元法可以减小计算量的故事，不过借着一个别人没有用过的对象来讲述，所以具有了一定的新意。所以说创新有三种：原理和方法型创新、对象型创新和结果型创新。第一种创新是真创新，后面两个故事讲得好也是极好的。

谱元法是啥？谱元法基于力学方程弱形式由Patera在1984年计算流体力学中提出。谱方法和有限元法的思想类似，都是有离散单元的存在，它在有限单元上进行谱展开，所以具有有限元方法和伪谱法的思想，同时兼备有限元可以模拟任何复杂介质模型的韧性和伪谱法的精度，所以谱元法又称为域分解谱方法或高阶有限元法。跟有限元差别在于谱方法以一系列全局连续的函数（可以是三角函数、多项式等）的叠加来近似真实解，而有限元法则是使用单元内简单多项式插值函数的叠加来近似真实解。即有限元的插值函数只在该单元内作用，而谱元法则是大家一起用。

对高频振动问题来讲，传统方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波传播需要使单元大小与波长相当，且时间分辨率也非常小，计算效率较低。谱元法则通过上述的全局插值函数（有点类似全局基函数，选三角函数时还可以利用FFT提高计算效率）来解决这些问题。

随机有限元谱方法有时域的和频域两种。时域谱元法和传统的有限元法区别较小，应该说是一种高阶的有限元法，其为了达到精度，细分网格是通过切比雪夫多项式或者勒让德多项式等正交多项式的根来定网格节点。频域谱元法是分析波传播的一种有限元方法，在频域内使位移函数采用波动方程的一般解，得到与频率相关的动刚度矩阵，利用快速傅里叶变换实现时域和频域的转换。

本文以线缆为例，分析波的传播对故障的诊断效果（需计算的波长跟故障尺度相当）。若用有限元方法，网格大小为波长1、6，需要成千上万的单元节点，而频域谱元法则只需很少的节点。考虑到线缆的自重，先用粗网格计算重力下的形变和内力，作为谱元法的计算对象，然后利用谱元法进行了波动分析，找出故障导致的波动异常，从而识别结构异常。