On Bayesian Mechanics: A Physics of and by Beliefs（自由能）2

（完整内容请参考原论文）

在深入研究⻉叶斯力学之前, 我们首先回顾一下支撑当代理论物理学的一些核心概念。

自 从⻨克斯⻙的开创性工作以来, 几乎所有的现代物理学都根据场论进行了阐述。 20 世纪之交后, 由于其描述性优势, 所有物理学都根据空间扩展场进行了重新表述[44]。场是正式表达机械理论如何应用于时空单一路径(即所谓的世界线) 范围内的系统的一种方式。也就是说, 场约束运动方程以应用于特定的、 物理上可实现的时空轨迹。 (同样, 由于几何学的描述性优势, 大多数现代物理学都被几何化了[45]。）

通过关注 FEP 将对称物理原理与某个给定系统动力学的力学理论相关联的方面, 我们隐含地将几何和场论的概念引入 FEP, 这两者都非常强大。

至关重要的是, 在 FEP 下, 在上述 NESS 密度定义的第三点中定义的惊喜可以被视为系统的本体论潜力(当它存在时)。

确实, 正如我们稍后将看到的, 对于推理问题的最大熵解, 对数概率等于特定系统上的约束，因此它也是约束特定系统访问集合的字面意义上的势能的特征状态。

也就是说, 在数学上, 我们可以将惊奇视为一种势, 类似于引 力或电磁势, 其梯度使我们能够指定特定系统所受的力。这些决定了它在状态空间以及共轭信念空间中的演变。

我们可以推导出一个更强有力的版本, 即特定系统参与了一种近似⻉叶斯推理。

这个近似⻉叶斯推理引 理 (ABIL) 可以表述如下: 当系统具有稳态解时, 我们可以定义一个同步映射或流形, 系统地将外部状态的条件模式与内部状态的条件模式联系起来。

在这些条件下, 我们可以说, 通过对外部环境的统计数据进行内部编码, 特定对象看起来好像在执行关于最佳条件模式的推断。

ABIL 本身表示, 在同步映射和变分自由能泛函(或其等价物) 下, 这种模式匹配对于近似⻉叶斯推理是必要和充分的 [6].

Some mathematical preliminaries on the maximum entropy principle, gauge theory, and dualization

We have said that the FEP is dual to the constrained maximum entropy principle (CMEP). Duality in this category-theoretic sense means that two objects, formally called an adjoint pair, share some common set of intrinsic features—but exhibit relationships to other objects in opposite directions. An adjunction (the existence of an adjoint pair) usually suggests some interesting structure hiding in a problem; in this case, it is the peculiar agentenvironment symmetry which is definitional of coupled systems that infer each others’ states.

It can be proven that exchanging (i) free energy for constrained entropy, and (ii) internal for external states, recovers all aspects of the ABIL and a simple case of self-evidencing, and thus much of the FEP, especially as it pertains to self-organisation; see [6] for a proof of the ABIL (Lemma 4.2 and Theorem 4.1).

Thus, the motivation for dualisation is almost three-fold: (i) it recaptures the original spirit of the FEP, which is that of an observer modelling an agent exhibiting self-organisation; (ii) it allows us to ground the mathematics of the FEP in the well established foundations of maximum entropy and stationary systems at equilibrium; (iii) it allows us to extend the existing methods of the FEP to scenarios that are new to the FEP literature, such as constraint-based formalisms.

As a technical tool, changing our viewpoint introduces constrained self-entropy as the dual to the free energy of beliefs. In doing so, we can relate the FEP to existing insights in probability theory and dynamical systems theory. This new viewpoint turns out to be independently interesting for our reading of the FEP, and possibly extends it to new phenomena or systems. New approaches developed for the maximum entropy principle (such as gauge-theoretic results) reflect themselves in useful ways—within the FEP—via this relationship

等效原理是阿尔伯特· 爱因斯坦在 1907 年恰当地引 入的, 当时他观察到物体以 1g 的速率向地球中心的加速度相当于惯性运动物体的加速度(即不在一个坐标系内加速) 参考) 将在自 由空间中以 1g 的速度加速的火箭上观察到(其参考系正在加速)。同样, 这是等效原理: 加速参考系统在物理上等效于引 力场。因此, 时空的曲率就是重力。

正如 [84] 中总结的那样, “没有观察者可以执行的实验来区分加速度是由于重力还是因为他们的参考系正在加速而产生的。” 现在, 是质量使时空变形, 完成了类比。 John Wheeler 的另一个真理是“时空告诉物质如何运动; 物质告诉时空如何弯曲。”

概括一下：为什么我们要将规范理论的技术引入贝叶斯力学?它提供了一个近似贝叶斯推理的吸引人的公式,并且与当代物理学中通常写机械理论的方式一致;但是它主要是有用的,因为它允许我们谈论自证性。

以前的工作[6] 用 CMEP 证明了近似贝叶斯推论引理,并把这个结果与 CMEP 的规范对称性联系起来。有了这种关系, 表明近似贝叶斯推理引理中的那种模式跟踪是存在的是绝对自然的,因为在那种密度下系统的实现流向一种模式。规范对称性所显示的分裂允许我们通过近似贝叶斯推理的定义来定义亥姆霍兹分解。

鉴于我们刚刚回顾的,规范理论在约束和概率之间的关系仍然更有用,因为我们现在可以理解:

(1)为什么令人惊讶的或负的对数概率是泛函的标准选择,通过平行传输,

(2) 为什么通过规范协方差恒等式,平行传输是有意义的,以及

(3)为什么看起来有一种力——一种隐喻的生命力,也许,事实上,规范力——驱动着模式匹配,这是 FEP 下概率(贝叶斯)信念控制的基础。

上述现象的一个直接结果是, 正如 FEP 所描述的,自组织的发生是因为熵耗散,而不是无视熵耗散。熵最大化的想法让我们可以说,从统计学上来说,生命实际上是第二定律的载体。换句话说,尽管面对熵,自组织显然是自相矛盾的,但宇宙鼓励组织,因为一个地方的有序意味着另一个地方的更大混乱[4].

即使在哲学上, FEP 和 CMEP 实际上是同一枚硬币的两个核心。因此, 我们可以将 FEP 解读为信念的物理学, 因为它是一个原则, 允许我们为信念空间中特定系统的图像制定机械理论; 并且双重地, 我们可以将 CMEP 解读为信仰物理学, 从某种意义上说, 它是一个原则, 指定了如何使用概率信仰更新的形式结构来对特定系统进行建模。

FEP as a physics of beliefs

CMEP as a physics by beliefs,

这些技术将使我们能够为那些更容易用口径表示的系统类型写下机械理论, 而不是惊奇和它的变分自 由能约束。这可能是一类不可忽略的系统, 因为许多生物系统似乎是非静止的, 具有移动的吸引 子, 或者至少在某些时间尺度上没有稳态密度。事实上, 正如[6], 最大口径可能是正式处理这些类型的系统系统的更自 然的设置。