手推公式之“层归一化”梯度

godweiyang

发布于 2022-06-13 17:18:47

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昨天推导了一下交叉熵的反向传播梯度，今天再来推导一下层归一化（LayerNorm），这是一种常见的归一化方法。

“交叉熵”反向传播推导

前向传播

反向传播

推导过程

均值和标准差的梯度

均值的梯度为：

\begin{aligned} \frac{\partial \mu}{\partial x_i} &= \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\frac{1}{m} \cdot \sum_j{x_j}\right) \\\ &= \frac{1}{m} \end{aligned}

标准差的计算公式可以写成\sigma = \left[\mu(x^2) - \mu^2(x)\right]^{\frac{1}{2}} ，所以梯度为：

\begin{aligned} \frac{\partial \sigma}{\partial x_i} &= \frac{\partial}{\partial x_i} \left[\mu(x^2) - \mu^2(x)\right]^{\frac{1}{2}} \\\ &= \frac{1}{2} \cdot \left[\mu(x^2) - \mu^2(x)\right]^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{2}{m} \cdot x_i - \frac{2}{m} \cdot \mu \right) \\\ &= \frac{1}{m} \cdot \sigma^{-1} \cdot (x_i - \mu) \end{aligned}

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