2021年美赛A题思路详解
大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
2021年数模美赛A题思路详解
由于和队友思路不一致，导致最后我的思路只算了前两问，而后几问用了我认为离题的PCA（主成分分析）的方法，我的建模思路没有得到完全实现，总体情况很不满意，特此写下这篇文章。
题目分析
从题目前面所提供的背景知识可以看出，C指出分解速率与菌丝伸长速率成正相关关系，我队友认为是线性关系而我认为是对数近似的关系。第二长图给了一个正比的关系，但是坐标却很容易理解错。这个moisture trde-off 不是湿度耐受性（moisture niche width)，更不是湿度的忍耐性。图表中描述这个是物种的竞争能力分数（competitive ranking)与湿度耐受范围(moisture niche width)的差值。如果还不能理解的话，向大家推荐一篇研究内容近似的nature的文章（也是我建模数据的主要来源） Consistent trade-offs in fungal trait expression across broad spatial scales 在这里我们能看到相比于原文引用的文章对湿度耐受性和各种trade-off更准确的定义：
观察上面这个图标，我们还发现温度和湿度的niche width是有上下界的，这说明这个系数并不是单一的对高温或者对湿度的忍耐度，而是对温度、湿度容忍力的合适的范围。 而对于竞争分数competitive rank，虽无明确定义，但nature的文章有这样一段表述;
这说明，这个ranking跟各个条件下菌丝的延展速率成正相关的关系。
因此，总体上来看，题目给的这张图和nature的文章都在说明逻辑相同的，也是符合我们常识认知的一件事请：菌类会为了适应更加极端的气候条件而“进化”，放弃部分生长速率。
接下来看题目具体要求：
放眼一瞄，看到了唯一一个加粗的biodiversity，还要说明他的重要性，这才是这个题目的最终目的。再看看前面递进的几问，判断文章重点应该在于论证生物多样性对环境变化的优势，而非环境对生物有怎样的影响。
思路详解
第一问，说明多物种对分解率的影响。首先不可避免我就想到了物种竞争，接着想到了论文里说的分解率和菌丝延申率的关系。在空间有界、自然资源分布均匀、竞争均匀发生的空间内，我们可以引入Lokta-Volterra模型(不懂的戳进百度百科康康），由二种物种竞争的式子我们可以容易推出多种物种竞争的式子（以物种1为例，其余物种式子省略）：
我们发现我们需要物种内禀增长率，环境容纳量，以及对其他物种的竞争系数。’
（1）内禀增长率关于温度和湿度的函数可由实验测得的查找菌丝生长速度随温度变化曲线拟合获得，实际选用了顶点和边边界点的进行双线性插值，拟合出一个简单二元函数：
（2）单物种环境容纳量也会随着气候变化而变化，这里需要假设环境容纳量与菌丝生长速率成正比（菌丝环境容纳量与气候的关系无相关资料），即菌丝生长速率需受气候影响。否则根据模型，无论气候怎么变化后一项多项式在平衡条件下将恒为0，不会产生随环境变化的波动。 （3）物种间的互竞争系数互为倒数，如a对b是2，表示每个a个体占据2个b个体的位置，则b对a为0.5。在此可以物种间内禀增长率的比值近似作为竞争系数。
将三个系数都化作内禀增长率r1的，构建出实际增长率与物种数量的常微分方程，作为菌类系统，这样基本模型就完成建立了。接下来假设温度与湿度的函数做输入信号，以菌丝生长率/分解率作为输出信号迭代计算即可： （1）设定温度、湿度函数：三角函数、锯齿波函数、方波函数（占空比<10%或>90%表急剧天气变化）等均可。周期可以一年为准（热带为半年），振幅贴近实际情况选取。如要表示全球气候变暖，则可以选取多几年的周期，加上表示气温升高的一次函数。 （2）设定各物种数量初值：设定为输入温度湿度函数的数学期望时的稳定值域，使波动在开始时不会太剧烈。 （3）根据各物种数量值与气候条件，通过Lokta-Volterra模型计算实际增长率。 （4）各物种数量叠加上实际增长率，得到下一刻（第二天）物种数量。 （5）循环到（3），迭代计算，最终得到增长率曲线。 （6）由增长率曲线通过换算得到分解率曲线。
第三问短期和长期的天气变化，通过改变温度、湿度的函数即可获得多物种/单物种情况下分解率的变化趋势。 第四问要求对每一类物种和能共存的物种的组合在不同的气候下进行分析需要考虑该物种的最佳湿度、最佳温度是不是在干旱~热带雨林某个区域的条件中，如果在的话就说明他适合在这个地方生存。
关于主成分分析：虽然在包括题目引用的多篇真菌研究的论文中，对物种的评估都用到了环境因子主成分分析，但个人认为在实际建模种不需要再做。主成分分析的目的在于评估那种环境对物种的影响更大，但是却完全无法满足题目中对论述生物多样性的要求，只能描绘环境对生物的影响，而不能描绘生物对环境的适应力。
至于对于生物多样性重要的论证，首先需要挑选适合的物种组合，设置温度湿度值在这些物种的最佳生长率对应的温度和湿度之间游走波动。如此则易计算出组合的总体分解率是一定会比绝大部分单个物种的情况下来的高的。因此论证生物多样性能提升总体的生物效率。
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