ACM/蓝桥杯动态规划篇——最长上升子序列模型（一）习题精讲
原创ACM/蓝桥杯动态规划篇——最长上升子序列模型（一）习题精讲
原创
最长上升子序列模型
题目描述
给定一个长度为 NN 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
思路分析
分析：最长上升子序列模型经典问题，经典解法。
C++实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N], f[N];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j ++)
{
if(a[i] > a[j])
{
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
res = max(res, f[i]);
printf("%d", res);
return 0;
}怪盗基德的滑翔翼
题目描述
怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。
而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。
有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。
不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。
假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。
初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。
他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。
因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。
他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。
请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？
思路分析
分析：此题为最长上升子序列模型的变形，通过分析可以发现其实就是正向求一边最长上升子序列，反向求一便最长上升子序列。再进一步就是从正向开始求一边最长上升子序列和最长下降子序列。
C++实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int a[N], f[N];
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T --)
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
int res = 0;
//正向求解最长上升子序列
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j++)
{
if(a[j] < a[i])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
res = max(res, f[i]);//顺便记录结果，不用最后再遍历一遍了
}
//正向求解最长下降子序列
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j++)
{
if(a[j] > a[i])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
res = max(res, f[i]);
}
//反向求解最长上升子序列
// for(int i = n; i >= 1; i--)
// {
// f[i] = 1;
// for(int j = n; j > i; j--)
// {
// if(a[j] < a[i])
// f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
// }
// res = max(res, f[i]);
// }
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}登山
题目描述
五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一共有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。
同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。
队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？
思路分析
与怪盗基德不同，怪盗基德是求最长上升也行，最长下降也行，这道题就不能完全从头开始求最长下降，因为这样所求的gi是从左边开始的，而我们要的是从右边开始的，所以必须从右边开始求。用两个数组分别求从左边的最长上升和从右边的最长上升，最后再枚举一边就行了。
C++实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int h[N], g[N], f[N];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &h[i]);
//正向最长上升子序列
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j ++)
{
if(h[i] > h[j])
{
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
}
//反向最长上升子序列
for(int i = n; i; i --)
{
g[i] = 1;
for(int j = n; j > i; j --)
{
if(h[i] > h[j])
{
g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
res = max(res, f[i] + g[i] - 1);
}
printf("%d", res);
return 0;
}注意：注意为什么最后减去1，因为每个都包含了最高点，最高点加了两次。
//错误 此处g[i]的含义是指从起始到a[i]的最大下降子序列的长度，
//而从后扫描的g[i]的含义是从a[i]到终点的下降子序列的长度，所以变换扫描顺序后的g[i]的含义发生了变化
// for(int i = 1; i <= n; i ++)
// {
// g[i] = 1;
// for(int j = 1; j < i; j++)
// {
// if(h[j] > h[i])
// g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
// }
// }合唱队形
题目描述
NN 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 (N−K)(N−K) 位同学出列，使得剩下的 KK 位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设 KK 位同学从左到右依次编号为 1，2…，K1，2…，K，他们的身高分别为 T1，T2，…，TKT1，T2，…，TK， 则他们的身高满足 T1<…<Ti>Ti+1>…>TK(1≤i≤K)T1<…<Ti>Ti+1>…>TK(1≤i≤K)。
你的任务是，已知所有 NN 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
思路分析
分析：与登山题目完全一样，只不过这个求的是n - res
C++实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int h[N], f[N], g[N];
int n;
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &h[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j ++)
{
if(h[i] > h[j])
{
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
}
for(int i = n; i ; i --)
{
g[i] = 1;
for(int j = n; j > i; j --)
{
if(h[i] > h[j])
{
g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
res = max(res, f[i] + g[i] - 1);
}
printf("%d", n - res);
return 0;
}友好城市
题目描述
Palmia国有一条横贯东西的大河，河有笔直的南北两岸，岸上各有位置各不相同的N个城市。
北岸的每个城市有且仅有一个友好城市在南岸，而且不同城市的友好城市不相同。
每对友好城市都向政府申请在河上开辟一条直线航道连接两个城市，但是由于河上雾太大，政府决定避免任意两条航道交叉，以避免事故。
编程帮助政府做出一些批准和拒绝申请的决定，使得在保证任意两条航线不相交的情况下，被批准的申请尽量多。
思路分析
分析：桥以上坐标从小到大排序后，找出下坐标的最长上升子序列长度
C++实现
//下标从0开始
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5010;
typedef pair<int, int> PII;
int f[N];
PII city[N];
int n;
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d%d", &city[i].first, &city[i].second);
sort(city, city + n);
int res = 0;
for(int i = 0; i < n; i ++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 0; j < i; j ++)
{
if(city[i].second > city[j].second)
{
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
res = max(res, f[i]);
}
printf("%d", res);
return 0;
}//下标从1开始
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5010;
typedef pair<int, int> PII;
int f[N];
PII city[N];
int n;
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d%d", &city[i].first, &city[i].second);
sort(city, city + n + 1);//sort(city + 1, city + n + 1);
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1; j < i; j ++)
{
if(city[i].second > city[j].second)
{
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
res = max(res, f[i]);
}
printf("%d", res);
return 0;
}最大上升子序列和
题目描述
一个数的序列 bibi，当 b1<b2<…<bSb1<b2<…<bS 的时候，我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列(a1,a2,…,aNa1,a2,…,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,…,aiKai1,ai2,…,aiK)，这里1≤i1<i2<…<iK≤N1≤i1<i2<…<iK≤N。
比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8)，有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等。
这些子序列中和最大为18，为子序列(1,3,5,9)的和。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。
注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100,1,2,3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1,2,3)。
思路分析
分析：跟最长上升子序列基本一样
C++实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N], f[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
f[i] = a[i];
for(int j = 1; j < i; j ++)
if(a[i] > a[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + a[i]);
}
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[i]);
printf("%d", res);
return 0;
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