Matlab 多项式的根求解

分享一下通过多种不同的方法计算多项式的根。

• 数值根
• 使用代换法求根
• 特定区间内的根
• 符号根

数值根

roots 函数用于计算系数向量表示的单变量多项式的根。

例如，创建一个向量以表示多项式 x2−x−6，然后计算多项式的根。

p = [1 -1 -6];
r = roots(p)
r =

     3
    -2

按照惯例，MATLAB以列向量形式返回这些根。

poly 函数将这些根重新转换为多项式系数。对向量执行运算时，poly 和 roots 为反函数，因此 poly(roots(p)) 返回 p（取决于舍入误差、排序和缩放）。

p2 = poly(r)
p2 =

     1    -1    -6

对矩阵执行运算时，poly 函数会计算矩阵的特征多项式。特征多项式的根是矩阵的特征值。因此，roots(poly(A)) 和 eig(A) 返回相同的答案（取决于舍入误差、排序和缩放）。

使用代换法求根

通过使用代换法简化方程来对涉及三角函数的多项式方程求解。一个变量的生成多项式不再包含任何三角函数。

例如，计算θ用于对该方程进行求解的值

3cos2(θ)−sin(θ)+3=0.

利用 cos2(θ)=1−sin2(θ)，完全以正弦函数的方式表示该方程：

−3sin2(θ)−sin(θ)+6=0.

利用代换法 x=sin(θ)，将该方程表示为简单的多项式方程：

−3x2−x+6=0.

创建一个向量以表示多项式。

p = [-3 -1 6];

求多项式的根。

r = roots(p)
r = 2×1

   -1.5907
    1.2573

要撤消代换法，请使用 θ=sin−1(x)。asin 函数计算反正弦。

theta = asin(r)
theta = 2×1 complex

  -1.5708 + 1.0395i
   1.5708 - 0.7028i

验证 theta 中的元素是否为θ中用来对原始方程求解的值（在舍入误差内）。

f = @(Z) 3*cos(Z).^2 - sin(Z) + 3;
f(theta)
ans = 2×1 complex
 1.0e-14 *

  -0.0888 + 0.0647i
   0.2665 + 0.0399i

特定区间内的根

使用 fzero 函数求多项式在特定区间内的根。在其他使用情况下，如果要绘制多项式并想要知道特定根的值，则这种方法很适用。

例如，创建一个函数句柄以表示多项式 3x7+4x6+2x5+4x4+x3+5x2。

p = @(x) 3*x.^7 + 4*x.^6 + 2*x.^5 + 4*x.^4 + x.^3 + 5*x.^2;

在区间 [−2,1] 内绘制该函数。

x = -2:0.1:1;
plot(x,p(x))
ylim([-100 50])
grid on
hold on

从绘图中，多项式在 0 和另一个接近 -1.5 的位置各有一个简单的根。使用 fzero 计算并绘制接近 -1.5 的根。

Z = fzero(p, -1.5)
Z = -1.6056
plot(Z,p(Z),'r*')

符号根

如果你有 Symbolic Math Toolbox™，则还会提供以符号形式计算多项式的其他选项。一种方式是使用 solve (Symbolic Math Toolbox) 函数。

syms x
s = solve(x^2-x-6)
s =
 
 -2
  3

另一种方式是使用 factor (Symbolic Math Toolbox) 函数计算多项式各项的因子。

F = factor(x^2-x-6)
F =
 
[ x + 2, x - 3]