随机模拟—蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

基本思想

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。

应用及matlab代码

我们以面积计算的问题讲解蒙特卡洛算法的实现步骤如下：

1.画出图像

求要计算图像的基本形状。此处以y1=3x；y2=8-x为例，画出图像如下：

2.确定边界

通常为矩形，要求矩形必须完整包括所求图像。

如上图，因为图像交点为（2,6），因此，确定边界如红框所示：（0,0），（8,0），（8,6），（0,6）

3.随机统计

在（矩形）边界范围内随机产生点，并统计落在所求图像中的点。所用到的函数为unifrnd函数。本例子以10^7（7次方在保证运行速度的情况下，基本可以满足准确度）为例。

4.确定面积

用比值法求面积，即落在图像上的点：整个范围内的点=所求图像面积：矩形边界面积。

即所有图像I面积=矩形边界面积*落在图像上的点/整个范围内的点。

相关的知识

本例中使用到的unifrnd函数的相关知识。

R = unifrnd(A,B,M,N,...) or R = unifrnd(A,B,[M,N,...])

即产生m*n阶［a，b］均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m, n)

如y=(0,8,[1,10000000])，即产生1*10000000阶位于（0,8）之间的数。

5.代码实现

%画函数图像
x=0:0.25:10;
y1=3*x;
y2=8-x;
plot(x,y1,x,y2)
 
axis([0 10 0 10]);
legend('y1=3x','y2=8-x');
title('蒙特卡洛算法');
text(2,6,'交点');
grid on
numPoint = 1e8;
%产生随机点
x=unifrnd(0,8,[1,numPoint]);
y=unifrnd(0,6,[1,numPoint]);
%统计所在所求图形中的点
frequency=sum(y<3*x & x<=2)+sum(y<8-x & x>2);
%计算面积
area=6*8*frequency/numPoint

6.结果测验

由函数图像可知，所求区域面积为：24。

算法运行结果如下：

由结果可知，算法每次运行结果都不一样，这是有概率统计的特性所致。但是结果都稳定在24左右，这与理论值是一样的。

以上实例以规则图形为例，对于不规则图像，本算法同样适用，且更便利。