matlab微分方程ODE求解器的事件(Event)属性

在特定的微分方程求解过程中，比如碰撞、车辆刹车，这种特殊运动时间简单的时序求解不够完善，故需要用到一个ode求解器的事件(Event)属性

首先假定一个微分方程

dy1=y2

dy2=y1+1

其中y1不能超过4

求解改微分方程

event时间定义：

function [value,isterminal,direction] = events1(t,y)
value = y(1)-4;
isterminal= 1;
direction = 0;

求解方法：

dy = @(t,y) [y(2);y(1) + 1];
options=odeset('events',@events1);
[t,y] = ode45(dy,[0 12],[0 1],options);
figure
plot(t,y)

结果为：

events函数解析：

%function [value,isterminal,direction]=events(t,x)

% 事件检查函数，此时需要做的是过零点检测

% ode45函数自动检查当value=0是否成立

% 如果我们要求检测Y=0的点，设置value=Y

% 这里我们要检测Y=4，那么就设置value=Y-4

% isterminal检测到指定条件时，是否终止ode45函数的运行

% 1表示终止，0表示继续

% 在我们这个问题上，我们只要检测到零点时就停止程序

% direction：value过零点检测的方向

% -1表示由正到负，+1表示由负到正

在用一个例子来说明，选择一个用到简单微分方程的物理情景

一个质量m=100kg的物体从高处竖直落下，加速度会受到空气阻力的影响，这里简单的认为重力加速度g=9.8不变，空气阻力f=k*v^2 ，简单起见，k=1。只考虑竖直方向速度v，且速度，加速度，竖直位移都以向下为正。初速度，初位移都为0；那么有以下微分方程：

dy/dt=v

dv/dt=9.8-1*v^2/m

m=100,v0=y0=0

然后用MATLAB的ode45函数求这个微分方程的数值解

先编写函数

function dx=fun(t,x)
% x(1)表示下落的距离y(向下为正)，x(2)表示下落速度v(向下为正)
k=1;     % k=1为表示空气阻力的一个常量，这里简化空气阻力f=k*v^2
m=100;% m为质量=100kg
dx=zeros(2,1);
dx(1)=x(2);             % 下落距离对时间的导数=速度
a=9.8-(k*x(2)^2)/m;% a加速度(向下为正)=重力加速度 - 空气阻力产生的加速度
dx(2)=a;                 % 速度对时间的导数=加速度
end

现在想要得到t=15s时的位移和速度

那么输入

[T,X]=ode45('fun',[0,15],[0 0]); 

返回的X中的最后一列就是我想要的值；

X(end)

ans =

   31.2997

但假如我想知道当竖直向下的位移刚好=100米时的时间和速度，那该怎么办？现在我的做法是先将解一个充分大的时间，然后在里面找位移在100两侧的时间和速度，再通过插值得到位移刚好=100时的时间和速度。但这样很麻烦，也不见得准确，MATLAB有什么自带的语句能实现这个功能吗？或是有什么更好的方法？

在不知道结果时间的时候是需要先设定一个比较大的时间范围计算的

但是并不需要将整个范围的结果都算出来再插值

这个时候可以设定触发事件函数在一定条件下停止计算

用odeset可以为ode45求解器设定触发事件的函数

function [value,isterminal,direction] = eventfun(t,x)
value=x(1)-100; %触发时间，当其值为0的时候，时间会触发
isterminal=1;   %设为1时会，触发时间会停止求解器，设0时触发不影响工作
direction=1;    %触发方向设1时是上升触发，设-1是下降触发，设0是双向触发
end

op=odeset('Events',@eventfun);
[T,X,Tend,Xend,evennum]=ode45(@fun,[0,15],[0 0],op);

这样到达100米时，求解器就停住了，ode45多返回了Tend,Xend,evennum三个参数

第一个Tend是触发事件发生的时间

第二个Xend是触发时间发生时刻的X

第三个evenum是标识触发事件的编号