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全排列的一点小技巧:康托展开

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Cyril-KI
发布2022-07-29 19:29:28
6260
发布2022-07-29 19:29:28
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文章被收录于专栏:KI的算法杂记

1.简单介绍

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射,常用于构建哈希表时的空间压缩。

比如,在所有包含 的全排列中,我们定义以下的双射:

康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序。 由上图可知序列 最小,序列 最大。

康托展开的公式为:

代表比当前排列小的排列的个数,因此最终我们需要的答案就是 ,其中 表示当前排列里从位置 右侧算起,比位置 的数还要小的数的个数,注意 从左到右依次为 。

举个例子:求 的康托展开。首位是1,1的右边比1小的数没有,所以 ,注意这里是 而不是 。同理有:

,,, 所以最终有:

所以 在所有包含 的升序全排列中排在第24位!!!

2.代码实现

代码语言:javascript
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//先预先算好0~9的阶乘,方便计算 
int fac[10]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
//x=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[1]*0!,注意i是从1~n,没有0 
int Contor(char *a,int n) {
  int sum=0,small=0;
  for(int i=0;i<n;i++) {
    small=0;
    for(int j=i+1;j<n;j++) {
      if(a[j]<a[i]) {    //计算第i位右边比该数还要小的数的个数 
        small++;
      }
    }
    sum+=small*fac[n-i-1];
    //例如12345,i=0时实际上对应着5 
    //顺数第i位实际上对应着第n-i位 ,即a[n-i]=small,所以应该是small* ((n-i)-1)!
    //所以应该是small*fac[n-i-1] 
  }
  return sum+1;
}
int main() {
  int n,t;
  char a[10];
  cin>>n>>a;
  cout<<Contor(a,n);
  return 0;
}
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原始发表:2021-10-30,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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