概率论基础 - 1 - 基础概念

为为为什么

发布于 2022-08-05 12:50:50

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本系列记录概率论基础知识，本文介绍最基本的概率论概念。

概率与分布

条件概率与独立事件

条件概率

已知A事件发生的条件下B发生的概率，记作P(B \mid A) ，它等于事件AB的概率相对于事件A的概率，即：

P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}

其中 {P(A)} > 0

条件概率分布的链式法则

对于n个随机变量{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}} ，有：

P\left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)=P\left(X_{1}\right) \prod_{i=2}^{n} P\left(X_{i} \mid X_{1}, \cdots, X_{i} 1\right)

变量相互独立

两个随机变量X,Y相互独立的数学描述：

P(X, Y)=P(X) P(Y)

变量相对独立

两个随机变量X,Y关于随机变量Z条件独立的数学描述：

P(X, Y \mid Z)=P(X \mid Z) P(Y \mid Z)

联合概率分布

联合分布

定义X和Y的联合分布为：

X的分布可以从联合分布中得到：

Y的分布可以从联合分布中得到：

联合概率质量函数

当X和Y都是离散随机变量时，定义X和Y的联合概率质量函数为：

$$ p(x, y)=P\{X=x, Y=y\} $$

X和Y的概率质量函数分布为：

p_{X}(x)=\sum_{y} p(x, y) \quad p_{Y}(y)=\sum_{x} p(x, y)

概率密度函数

当X和Y联合地连续时，即存在函数p(x,y) ，使得对于所有的实数集合\mathbb{A}和\mathbb{B}满足：

则函数p(x,y)称为X和Y的概率密度函数。
X和Y的联合分布为：

X和Y的分布函数：

P_{X}(a)=\int_{-\infty}^{a} \int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) d x d y=\int_{-\infty}^{a} p_{X}(x) d x

P_{Y}(b)=\int_{\infty}^{\infty} \int_{\infty}^{b} p(x, y) d x d y=\int_{\infty}^{b} p_{Y}(y) d y

X和Y的概率密度函数：

p_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) d y

p_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) d x

参考资料

http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html

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原始发表：2021年3月1日，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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