概率论基础 - 7 - 特征函数

特征函数是随机变量的分布的不同表示形式。

概述

一般而言，对于随机变量X的分布，大家习惯用概率密度函数来描述，虽然概率密度函数理解起来很直观，但是确实随机变量的分布还有另外的描述方式，比如特征函数。

• 特征函数的本质是概率密度函数的泰勒展开
• 每一个级数表示原始概率密度函数的一个特征
• 如果两个分布的所有特征都相同，那我们就认为这是两个相同的分布
• 矩是描述概率分布的重要特征，期望、方差等概念都是矩的特殊形态
• 直觉上可以简单理解为：
  • 各阶矩相等 → 各个特征相等 → 分布相同

定义

• 随机变量X 的特征函数定义为：

• 针对概率密度函数为f(x)的连续随机变量x，特征函数写作：

• 为什么这么定义呢? 首先, e^{i t X} 的泰勒级数为:

• 代入可以推出：

• 也就是说特征函数包含了分布函数的所有矩，可以理解为包含了分布的所有特征
• 之前的结论可以进一步理解为： \varphi_{X}(t) 相等 → 各阶矩相等 → 各个特征相等 → 分布相同
• 所以，特征函数其实是随机变量X的分布的另外一种描述方式

一些推论

• 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ，其特征函数为：

独立变量和的特征函数

• Y=X_1+X_2 ，其中X_1,X_2相互独立，特征函数：

常数线性变换的特征函数

• Y=aX+b 的特征函数：

标准正态分布的特征函数

• 设 X \sim N(0,1)则其概率密度函数为：

• 特征函数为：

特征函数是共轭傅立叶变换

• 假设某连续随机变量X的概率密度函数为f(x)，那么可知：

• 特征函数为：

• 而f(x)的傅立叶变换为：

• 二者是共轭关系：

参考资料

• https://www.zhihu.com/question/23686709/answer/376439033
• https://www.zhihu.com/question/25956080/answer/1375064657