概率论基础 - 13 - 泊松分布（Poisson分布）

本文记录泊松分布。

泊松分布

• 假设已知事件在单位时间 (或者单位面积) 内发生的平均次数为 \lambda, 则泊松分布描述了：事件在单位时间 (或者单位面积) 内发生的具体次数为 k 的概率。
• 概率质量函数： p(X=k | \lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k !} .
• 期望: \mathbb{E}[X]=\lambda
• 方差: \operatorname{Var}[X]=\lambda

泊松分布的来源

• 泊松分布单位时间发生的次数为X，平均次数为\lambda
• 设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n，把时间段[0,1)分为等长的n段：

• 我们做如下两个假定:

1. 在每段 l_{i} 内, 恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长 \frac{1}{n} 成正比，可设为 \frac{\lambda}{n} 。当n很大时， \frac{1}{n} 很小时，在 l_{i} 这么短暂的一段时间内，要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在 l_{i} 这段时间内不发生事故的概率为 1-\frac{\lambda}{n} 。
2. l_{i}, \ldots, l_{n} 各段是否发生事故是独立的 把在 [0,1) 时段内发生的事故数 X视作在n个划分之后的小时段 l_{i}, \ldots, l_{n} 内有事故的时段数，则按照上述两个假定， X 应服 从二项分布 B\left(n, \frac{\lambda}{n}\right) 。于是，我们有

• 注意到当 n \rightarrow \infty 取极限时，我们有

• 因此

从上述推导可以看出：泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说，若 X \sim B(n, p) ,其中n很大， p很小，因而 n p=\lambda 不太大时， X的分布接近于泊松分布 P(\lambda) 。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。

Python 实现

• scipy 包支持模拟泊松分布

查表

查累积概率。查询 \lambda =100，发生次数小于等于120的概率：

from scipy import stats
 
p = stats.poisson.cdf(120, 100)
print(p)

>>>
0.9773306709216473

随机数生成

生成服从

\lambda

=50的泊松分布随机数100个：

from scipy import stats
# 设置random_state时，每次生成的随机数一样。不设置或为None时，多次生成的随机数不一样
sample = stats.poisson.rvs(mu=50, size=100, random_state=3)
print(sample)

>>>
[51 45 60 40 34 53 54 45 45 49 51 46 48 61 47 53 47 48 45 49 52 45 43 50
 50 54 54 47 47 46 36 72 54 55 52 37 42 41 54 54 55 58 53 53 51 43 58 38
 63 50 44 53 48 43 53 45 67 37 51 42 54 47 59 55 54 55 55 46 60 43 54 45
 59 44 58 45 51 58 56 47 54 33 55 50 58 49 60 37 51 43 50 52 52 45 42 44
 49 54 52 48]

参考资料

• http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
• https://baike.baidu.com/item/泊松分布/1442110?fr=aladdin
• https://blog.csdn.net/lanhezhong/article/details/105765526