概率论基础 - 14 - 指数分布

本文记录指数分布。

简介

在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。

定义

• 指数分布自变量x，其概率密度函数为：

• 其中λ > 0[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X \sim E(λ)或Exp(\lambda)。
• 累积概率密度函数：

期望

方差

指数分布的来源

指数分布表示事件发生两次的间隔的概率分布，我们利用泊松分布的一些结论来推导

• 事件单位时间发生的期望次数为\lambda，两次事件发生的时间间隔随机变量用Y表示
• 那么两次事件发生的时间间隔大于t的概率等于时间t内没有发生事件的概率，而后者的概率可以用泊松分布刻画：

• 进而有:

• Y 的累积分布函数:

• 求导得到概率密度函数:

• 至此得到了指数分布概率密度函数

无记忆性

• 指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property, 又称遗失记忆性）
• 这表示如果一个随机变量呈指数分布，当 s, t \geq 0 时有:

举例：如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少 s+t 小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

参考资料

• http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
• https://baike.baidu.com/item/指数分布/776702?fr=aladdin
• https://www.zhihu.com/question/24796044