本文记录伽马分布。
若事件服从泊松分布,泊松分布参数为\lambda,则事件第i 次发生和第i+k 次发生的时间间隔t的分布为伽玛分布。
其中 t 为时间间隔。
上面的定义中 k 必须是整数。
当 \alpha \leq 1 时, p(X ; \alpha, \beta) 为递减函数。 当 \alpha>1 p(X ; \alpha, \beta) 为单峰函数。
Gamma分布上述积分形式即可理解为: 第 n 个事件恰好发生在时间 (t,+\infty) 的概率, 相当于 在时间 (0, t) 内发生恰好发生 0,1,2, \cdots, n-1 个事件的概率总和。
也可以反过来说,伽马分布是n个独立的指数分布随机变量的和。
伽玛函数(Gamma Function)作为阶乘的延拓,是定义在复数范围内的亚纯函数,通常写成 \Gamma(x) 。 在x取值为正整数时与阶乘是统一的。
其中 \operatorname{Re}(z)>0
我们都知道 \int_{0}^{+\infty} e{-t{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\sqrt{\pi}}{2} 是一个常用积分结果 上述公式可以用 \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2 \int_{0}^{\perp \infty} e{-t{2}} \mathrm{~d} t=\sqrt{\pi} 来验证