获取一般椭圆外接矩形

为为为什么

发布于 2022-08-06 17:29:20

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正椭圆的外接矩形可以直接根据椭圆中心以及长短半轴确定，但一般的斜椭圆就要复杂一些，本文记录计算斜椭圆外接矩形的过程。

问题描述

如上述动图所示，给定一个一般但中心为原点的椭圆，长半轴 a，短半轴 b，角度 \alpha。

需要求得在给定 a,b,\alpha 下椭圆的外接矩形，可以将问题简化为在给定数据下求图中 height 变量。

一般化方程

正椭圆方程为：

当顺时针旋转角度 \alpha 后，x,y 值可以表示为：

带入正椭圆方程得到中心在原点的一般椭圆方程：

\frac { ( x ^ { \prime } \cos \theta - y ^ { \prime } \sin \theta ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { ( x ^ { \prime } \sin \theta + y ^ { \prime } \cos \theta) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1

展开得到：

对此我们将该种类的椭圆方程一般化，有方程：

对应得到：

即我们讨论的椭圆方程总可以化成一般方程的形式，之后我们均在一般化方程基础上讨论解法

方法一

求解思路

需要解得 y 对 x 导数为 0 的点，取绝对值即可

解决方法

我们的目的是寻找 \frac{\partial y}{\partial x} 为 0 的点，那么直接对 x 求偏导：

令 \frac{\partial y}{\partial x} = 0,有：

2Ax+By=0

不考虑 A = 0 的情况下：

x = - \frac{B}{2A}

带入一般方程：

得到高度：

height=|\sqrt{\frac{4AD}{B^2-4AC}}|

方法二

解决思路

将一般方程的 y 看做常数，x 为自变量
如果解得 x，那么就相当于给定 y = t 的情况下，椭圆与该直线的交点 x 坐标
那么问题转化成了一元二次方程，当解的个数仅有一个的时候，直线 y=t与椭圆相切，也就是我们想要找的值
height=|t|

解决方法

关于 x 的一元二次方程

解为：

x=\frac{-B y \pm \sqrt{(B y)^{2}-4 \cdot A \cdot\left(C y^{2}+D\right)}}{2 A}

x 仅有1个解等价于：

与上一方法殊途同归：

height=|\sqrt{\frac{4AD}{B^2-4AC}}|

python 实现

来自知乎大佬

函数输入为：

参数	含义
major_radius	主轴的半径
minor_radius	短轴半径
angle	(顺时针)旋转角度
center_x	中心点横坐标
center_y	中心点纵坐标

首先是根据前三个函数输入得到椭圆参数方程的参数

'''
根据椭圆的主轴和次轴半径以及旋转角度(默认圆心在原点)，得到椭圆参数方程的参数，
椭圆参数方程为：
    A * x^2 + B * x * y + C * y^2 + D = 0
'''
def get_ellipse_param(major_radius, minor_radius, angle):
    a, b = major_radius, minor_radius
    sin_theta = np.sin(-angle)
    cos_theta = np.cos(-angle)
    A = a**2 * sin_theta**2 + b**2 * cos_theta**2
    B = 2 * (a**2 - b**2) * sin_theta * cos_theta
    C = a**2 * cos_theta**2 + b**2 * sin_theta**2
    F = -a**2 * b**2
    return A, B, C, D

根据参数计算矩形框的值两个点的坐标：

'''
根据椭圆参数方程的参数，得到椭圆的外接矩形top-left和right-bottom坐标。
'''
def calculate_rectangle(A, B, C, D):
    '''
    椭圆上下外接点的纵坐标值
    '''
    y = np.sqrt(4*A*D / (B**2 - 4*A*C))
    y1, y2 = -np.abs(y), np.abs(y)
    
    '''
    椭圆左右外接点的横坐标值
    '''
    x = np.sqrt(4*C*D / (B**2 - 4*C*A))
    x1, x2 = -np.abs(x), np.abs(x)
    
    return (x1, y1), (x2, y2)

综合两个函数

'''
按照数据集接口返回矩形框
'''
def get_rectangle(major_radius, minor_radius, angle, center_x, center_y):
    A, B, C, D = get_ellipse_param(major_radius, minor_radius, angle)
    p1, p2 = calculate_rectangle(A, B, C, D)
    return (center_x+p1[0], center_y+p1[1]), (center_x+p2[0], center_y+p2[1])

mtutils 库

python 中的 OpenCV 有输出斜椭圆的结构 ellipse
在库 mtutils 中的 ellipse2bbox 可以直接将该椭圆作为输入，得到外接矩形

from mtutils import ellipse2bbox
bbox = ellipse2bbox(ellipse)

参考资料

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原始发表：2022年2月18日，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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