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极限是研究变量变化的过程,并通过变化的过程来把握变化的结果。一般来说一个函数某个点的结果是由函数确定了的,所以一个函数某个点的值一般就等于其极限。除非是提前,把那个点给挖走了,否则在那个变化过程中是没有什么办法能阻止变化的趋势的。但是也不能说极限就一定等于其函数值。
要理解好极限的定义,可以先从简单的,描述性的定义入手,然后再转到严格的数学定义上去。
描述性定义是这样的: 当自变量x无限接近于定点 x0 时,函数 f(x) 无限接近于定值 a,那么定值 a 就称做函数 f(x)在x0的极限,记做 f ‘(x) = a.
换成更通俗的语言:你这样变的时候,我就那样变。
但是这个定义虽然形象,但是无限接近 是怎么个接近,这种词语只能用在文学创作上,不能用在数学定义上。 所以这里的关键是如何用数学语言来表达无限接近。
换个思维,无限接近实际上就是距离越来越少。所以可以将“自变量x无限接近于定点 x0”,转变成动点x离定点x0的距离 |x-x0|越来越小 ,如果 |x-x0| < a ,而且a又是可以要多小就有多小的正数,就用数学表达了无限接近的意思了。
我们再来看看极限的标准数学定义:
设函数是f(x)在某去心邻域有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数@(无论多么小),总存在正数&,使得当x满足不等式的时候0<|x-x0|<&时,对应的函数值满足:
|f(x)-A|<@ ,那么常数A就叫做f(x)的极限。
可以把这个定义的句子顺序调一下,就看的更清楚:
如果 0< |x – x0| < & (&为任意正数),|f(x)-A| < @ (@ 任意小),常数A 就叫做 f(x) 的极限。
OK,就是这么简单,理解这个定义的关键点就是 明白 无限接近某个数 等价于用一个动点减去哪个定点的绝对值来表示。
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